Introduction

Dans le cadre des transformations nucléaires, on modélise la décroissance d'un nombre de noyaux N par le temps, en supposant un processus aléatoire et une décroissance de premier ordre.

Fondamentaux

• La décroissance radioactive est souvent décrite par une équation différentielle du premier ordre.
• La quantité N(t) diminue avec une constante de décroissance λ > 0, mesurée en s^-1.
• Le modèle est statistique et donne une moyenne temporelle des noyaux restants.

Formulation mathématique

Équation différentielle: dN/dt = -λ N

Où N(t) est le nombre de noyaux à l'instant t et λ est la constante de décroissance (unité: s^-1).

Conditions initiales: N(t0) = N0 ou N(0) = N0.

Remarque: λ > 0, le système décroît de manière exponentielle.

dN/dt = -λ N
=> dN/N = -λ dt
=> ln|N| = -λ t + C
=> N(t) = N0 e^{-λ t}

Vérifications: N(t) est positif et tend vers zéro à mesure que t augmente.

Propriétés et applications

• Constante de décroissance λ et demi-vie t1/2 = ln 2 / λ.
• Activité A(t) = -dN/dt = λ N(t) = λ N0 e^{-λ t}.

Exemple rapide

Supposons N0 = 1 000 noyaux et λ = 0,0693 s^-1. À t = 10 s, N ≈ 1000 e^{-0,693} ≈ 500.

La demi-vie est t1/2 = ln 2 / λ ≈ 10 s.

Exercices (à faire)

1. Écrire la solution générale de dN/dt = -λ N avec N(t0) = N0.
2. Calculer N(t) pour N0 = 5×10^6, λ = 0,025 s^-1 et t = 60 s.
3. Déduire t1/2 en fonction de λ et calculer t1/2 pour λ = 0,05 s^-1.

Rappels et conseils méthodologiques

• Le modèle d'un premier ordre est linéaire et séparables.
• Pour résoudre, on sépare les variables: dN/N = -λ dt, puis on intègre.
• Vérifier les unités et l'adéquation avec les conditions initiales.