Objectifs

• Construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation, une symétrie axiale, une symétrie centrale, une rotation et une homothétie.
• Connaître les propriétés de conservation de chaque transformation.
• Calculer les coordonnées d'une image dans un repère.
• Utiliser une transformation pour démontrer une propriété (longueur, parallélisme, alignement, aire).

1. La translation

Notions clés

La translation de vecteur \(\vec{u}\) transforme un point \(M\) en un point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\) : tous les points glissent de la même façon (même direction, même sens, même longueur).

Dans un repère, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \(M(x\,;\,y)\), alors \(M'(x + a\,;\,y + b)\).

Exemple résolu 1

Dans un repère, \(A(2\,;\,1)\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Calcule les coordonnées de l'image \(A'\) de \(A\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\). Cherche d'abord.

2. Les symétries axiale et centrale

Symétrie axiale

Le symétrique de \(M\) par rapport à la droite \((d)\) est le point \(M'\) tel que \((d)\) soit la médiatrice du segment \([MM']\) (si \(M\) est sur \((d)\), alors \(M' = M\)).

Dans un repère : par rapport à l'axe des abscisses, \(M(x\,;\,y)\) a pour image \(M'(x\,;\,-y)\) ; par rapport à l'axe des ordonnées, \(M'(-x\,;\,y)\).

Symétrie centrale

Le symétrique de \(M\) par rapport au point \(O\) est le point \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \([MM']\). C'est un demi-tour autour de \(O\).

Si le centre est l'origine \(O(0\,;\,0)\) : \(M'(-x\,;\,-y)\). Si le centre est \(I(x_I\,;\,y_I)\) : \(x' = 2x_I - x\) et \(y' = 2y_I - y\).

Exemple résolu 2

Soit \(I(1\,;\,1)\) et \(A(4\,;\,3)\). Calcule les coordonnées du symétrique \(A'\) de \(A\) par rapport à \(I\).

3. La rotation

Notions clés

La rotation de centre \(O\), d'angle \(\alpha\) et de sens donné transforme \(M\) en \(M'\) tel que :

Le sens direct (ou trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre. Une rotation d'angle \(180^\circ\) est une symétrie centrale.

Cas utile : la rotation de centre \(O(0\,;\,0)\), d'angle \(90^\circ\) dans le sens direct, transforme \(M(x\,;\,y)\) en \(M'(-y\,;\,x)\).

Exemple résolu 3

Dans un repère, \(A(3\,;\,1)\). Calcule l'image \(A'\) de \(A\) par la rotation de centre \(O\), d'angle \(90^\circ\), sens direct, et vérifie que \(OA' = OA\).

4. L'homothétie

Notions clés

L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k \neq 0\)) transforme \(M\) en \(M'\) tel que

• si \(k > 0\), \(M'\) est sur la demi-droite \([OM)\) ; si \(k < 0\), \(M'\) est de l'autre côté de \(O\) ;
• si \(|k| > 1\), c'est un agrandissement ; si \(|k| < 1\), une réduction ; \(k = -1\) donne la symétrie de centre \(O\).

Dans un repère d'origine le centre \(O\) : \(M'(kx\,;\,ky)\).

Exemple résolu 4 : longueurs et aires

Un triangle rectangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. On lui applique une homothétie de rapport \(k = 2\), puis, à partir du triangle de départ, une homothétie de rapport \(k = -\dfrac{1}{2}\). Quelles sont les longueurs et les aires des images ?

5. Démontrer avec une transformation

Exemple résolu 5

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\), avec \(AB = 6\ \mathrm{cm}\). Démontre que \(CD = 6\ \mathrm{cm}\) et que \((AB) \parallel (CD)\). Cherche d'abord quelle transformation utiliser.

Erreurs fréquentes

• Tracer la flèche de translation dans le mauvais sens : \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\), on part de \(M\).
• Confondre le centre d'une symétrie centrale (un milieu) et l'axe d'une symétrie axiale (une médiatrice).
• Oublier le sens de rotation ou tourner dans le sens des aiguilles d'une montre pour le sens direct.
• Pour \(k < 0\), placer l'image du même côté que le point de départ.
• Multiplier les aires par \(k\) au lieu de \(k^2\).

Récapitulatif

• Translation de vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) : \(M'(x + a\,;\,y + b)\).
• Symétrie axiale : l'axe est la médiatrice de \([MM']\). Symétrie centrale : le centre est le milieu de \([MM']\).
• Rotation : \(OM' = OM\) et \(\widehat{MOM'} = \alpha\) dans un sens donné.
• Ces quatre transformations conservent longueurs, angles, parallélisme, alignement et aires.
• Homothétie : \(\overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}\) ; longueurs multipliées par \(|k|\), aires par \(k^2\), angles conservés.