Trigonométrie avancée : Relations métriques

Introduction

Les relations métriques permettent d'établir des liens entre les côtés et les angles d'un triangle. Elles sont essentielles pour résoudre des problèmes en trigonométrie avancée.

Rappels : triangle et notations

• Triangle \(ABC\) avec angle \(A\) face au segment \(BC\).
• Les côtés : \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\).
• Les angles opposés : \(A, B, C\).

Les relations fondamentales

Théorème de la sinus

Dans un triangle \(ABC\), la relation suivante relie côtés et angles :

\[ rac{a}{\sin A} = rac{b}{\sin B} = rac{c}{\sin C} \]

Théorème du cosinus

Il permet de calculer un côté ou un angle à partir des autres :

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

De même, pour \(b\) et \(c\) :

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \]

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

Applications pratiques

Calcul d'un côté

Pour trouver le côté \(a\) :

\[ a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos A} \]

Calcul d'un angle

Pour trouver un angle \(A\) :

\[ \cos A = rac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

puis utiliser la fonction cosinus inverse :

\[ A = rccos \left( rac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} ight) \]

Résumé

• La loi des sinus relie côtés et angles : \[ rac{a}{\sin A} = rac{b}{\sin B} = rac{c}{\sin C} \]
• La loi du cosinus permet de relier côtés et angles dans un triangle : \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]
• Ces relations permettent de résoudre des triangles en fonction des données disponibles.