Trigonométrie : Définition et équations de cosinus et sinus

Introduction

La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs dans les triangles. Dans ce cours, nous allons définir les fonctions sinusoïdales (sinus et cosinus) et voir leurs équations principales.

Définition des fonctions sinus et cosinus

Considérons un cercle de rayon 1, appelé cercle trigonométrique, centré en O (0,0). Un point M mobile sur ce cercle détermine un angle \( heta\), mesuré depuis l'axe horizontal (axe des abscisses).

• Sinus de \( heta\) : la coordonnée y du point M, i.e., \( \sin heta = y \).
• Cosinus de \( heta\) : la coordonnée x du point M, c'est-à-dire \( \cos heta = x \).

Ces deux fonctions sont fondamentales en trigonométrie et définissent la position d’un point sur le cercle.

Équations fondamentales

Dans le cercle trigonométrique, le point M(x, y) vérifie l’équation :

\[ \cos^2 heta + \sin^2 heta = 1 \]

C'est l’identité de Pythagore appliquée aux fonctions trigonométriques.

Les équations de sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \( 2\pi \) :

• Sinus : \[ \sin ( heta + 2\pi) = \sin heta \]
• Cosinus : \[ \cos ( heta + 2\pi) = \cos heta \]

Les graphes de ces fonctions ont une forme de courbe continue oscillante, vitales pour modéliser des phénomènes périodiques.

Résumé

• Cosinus et sinus définissent la position d’un point sur le cercle.
• Ils satisfont l’identité : \(\cos^2 heta + \sin^2 heta = 1\).
• Ce sont des fonctions périodiques, essentielles en physique, en ingénierie et en mathématiques.