Thème 1 : Trigonométrie

Introduction

La trigonométrie étudie les relations entre les longueurs et les angles dans les triangles. Elle est utile pour mesurer des distances ou des angles dans différents contextes.

Les triangles rectangles

Un triangle rectangle possède un angle droit (\(90^\circ\)). Les côtés qui forment cet angle sont appelés catètes et le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques fondamentales

• Sinus :
  Pour un angle \( heta \), c'est le rapport entre la longueur de la catète opposée à \( heta \) et l'hypoténuse :
  \[ \sin heta = rac{ ext{catéte opposée}}{ ext{hypoténuse}} \]
• Cosinus :
  Pour un angle \( heta \), c'est le rapport entre la longueur de la catète adjacente à \( heta \) et l'hypoténuse :
  \[ \cos heta = rac{ ext{catéte adjacente}}{ ext{hypoténuse}} \]
• Tangente :
  Pour un angle \( heta \), c'est le rapport entre la catète opposée à \( heta \) et celle adjacente :
  \[ an heta = rac{ ext{catéte opposée}}{ ext{catéte adjacente}} \]

Calculs avec la trigonométrie

Pour un triangle rectangle, si une longueur et un angle sont connus, on peut calculer les autres longueurs à l'aide des fonctions trigonométriques :

• Hypoténuse :
  \( h = rac{ ext{longueur connue}}{\sin heta} \) ou \( h = rac{ ext{longueur connue}}{\cos heta} \), selon le cas.
• Catète opposée :
  \( ext{catéte opposée} = h imes \sin heta \).
• Catète adjacente :
  \( ext{catéte adjacente} = h imes \cos heta \).

Les relations importantes

Les fonctions sinus et cosinus sont liées par l'identité :
\[ \sin^2 heta + \cos^2 heta = 1 \]

Applications

La trigonométrie est utilisée en géométrie, en physique, en ingénierie pour résoudre des problèmes liés aux distances, angles et mouvements.

Résumé

• Les fonctions sinus, cosinus et tangente permettent d'établir des relations dans un triangle rectangle.
• Connaissant un angle et une longueur, on peut calculer les autres longueurs à l'aide des fonctions trigonométriques.
• Les principales formules sont :
  \(\sin heta = rac{ ext{opposée}}{ ext{hypoténuse}}\),
  \(\cos heta = rac{ ext{adja}}{ ext{hyp}}\),
  \( an heta = rac{ ext{opposée}}{ ext{adja}}\).