Types de raisonnement : disjonction de cas, absurde, contraposée

Quand une preuve directe bloque, on a trois outils : découper le problème en cas (disjonction de cas), supposer le contraire pour aboutir à une impossibilité (absurde), ou démontrer l’énoncé équivalent « si non B alors non A » (contraposée).

Objectifs

Distinguer une implication, sa réciproque et sa contraposée, et écrire la négation d’une proposition simple.
Rédiger une démonstration par disjonction de cas.
Rédiger une démonstration par l’absurde.
Rédiger une démonstration par contraposée.
Choisir le type de raisonnement adapté à un énoncé.

0. Rappels : implication, négation, réciproque, contraposée

Soit \(A\) et \(B\) deux propositions. L’implication \(A \Rightarrow B\) signifie : chaque fois que \(A\) est vraie, \(B\) est vraie.

Sa réciproque est \(B \Rightarrow A\). Elle peut être vraie ou fausse, indépendamment de l’implication de départ.
Sa contraposée est \(\text{non } B \Rightarrow \text{non } A\). Elle est toujours équivalente à \(A \Rightarrow B\) : les deux sont vraies ensemble ou fausses ensemble.

Négations utiles : la négation de « \(n\) est pair » est « \(n\) est impair » ; la négation de « \(x > 3\) » est « \(x \leq 3\) » ; la négation de « pour tout \(x\), \(P(x)\) » est « il existe \(x\) tel que non \(P(x)\) ».

Quelle est la contraposée de « si \(x = 2\), alors \(x^2 = 4\) » ?

Si \(x^2 = 4\), alors \(x = 2\).
Si \(x^2 \neq 4\), alors \(x \neq 2\).
Si \(x \neq 2\), alors \(x^2 \neq 4\).

La contraposée de A implique B est non B implique non A. La réponse 1 est la réciproque (fausse : x = −2) et la réponse 3 est fausse pour la même raison.

1. Le raisonnement par disjonction de cas

Principe : pour démontrer une propriété, on sépare toutes les situations possibles en plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités, et on démontre la propriété dans chaque cas.

Découpages fréquents : \(n\) pair ou \(n\) impair ; \(x \geq 0\) ou \(x < 0\) (valeurs absolues) ; reste de la division par 3 égal à 0, 1 ou 2.

Exemple résolu 1 : le produit de deux entiers consécutifs

Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), le nombre \(n(n+1)\) est pair.

Cas 1 : \(n\) est pair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k\). Alors \(n(n+1) = 2k(2k+1) = 2\big(k(2k+1)\big)\), qui est pair.

Cas 2 : \(n\) est impair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k+1\). Alors \(n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)\) et \(n(n+1) = 2\big((2k+1)(k+1)\big)\), qui est pair.

Conclusion : tout entier est pair ou impair, les deux cas couvrent toutes les possibilités ; donc \(n(n+1)\) est toujours pair.

Exemple résolu 2 : une inégalité avec des valeurs absolues

Démontrer que pour tout réel \(x\), \(|x-1| + |x+1| \geq 2\). Cherche d’abord quels cas il faut distinguer.

Voir la solution

Les valeurs absolues changent d’expression en \(x = -1\) et \(x = 1\) : on distingue trois cas.

Si \(x \leq -1\) : \(|x-1| + |x+1| = -(x-1) - (x+1) = -2x\). Or \(x \leq -1\) donne \(-2x \geq 2\).
Si \(-1 \leq x \leq 1\) : \(|x-1| + |x+1| = -(x-1) + (x+1) = 2\), donc la somme vaut exactement 2.
Si \(x \geq 1\) : \(|x-1| + |x+1| = (x-1) + (x+1) = 2x \geq 2\).

Dans tous les cas, \(|x-1| + |x+1| \geq 2\).

Observe le résultat sur le graphique : la courbe de \(y = |x-a| + |x+a|\) ne descend jamais sous la droite \(y = 2a\) (avec \(a = 1\), on retrouve l’exemple). Fais varier \(a\).

Pour démontrer que le carré de tout entier \(n\) a un reste égal à 0 ou 1 dans la division par 3, quels cas faut-il distinguer ?

\(n\) pair ou \(n\) impair
\(n\) positif ou \(n\) négatif
\(n = 3k\), \(n = 3k+1\) ou \(n = 3k+2\)

On étudie la division par 3, donc on découpe selon le reste de n : 0, 1 ou 2. On trouve \(9k^2 = 3(3k^2)\), \((3k+1)^2 = 3(3k^2+2k)+1\) et \((3k+2)^2 = 3(3k^2+4k+1)+1\).

2. Le raisonnement par l’absurde

Principe : pour démontrer qu’une proposition \(P\) est vraie, on suppose que \(P\) est fausse (on suppose « non \(P\) »), puis on en déduit logiquement une contradiction (un résultat impossible, ou contraire à une hypothèse). La supposition était donc fausse : \(P\) est vraie.

flowchart LR
A[Supposer non P] --> B[Déductions logiques]
B --> C[Contradiction]
C --> D[Donc P est vraie]

Exemple résolu 1 : il n’existe pas de plus grand entier

Supposons par l’absurde qu’il existe un plus grand entier naturel, noté \(N\).

Alors \(N + 1\) est aussi un entier naturel, et \(N + 1 > N\).

Contradiction : on a trouvé un entier plus grand que le plus grand. La supposition est fausse : il n’existe pas de plus grand entier naturel.

Exemple résolu 2 : \(\sqrt{2}\) est irrationnel

On admet (et on le démontre plus bas par contraposée) que si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.

Supposons par l’absurde que \(\sqrt{2}\) est rationnel : \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers, \(q \neq 0\), et la fraction irréductible (\(p\) et \(q\) n’ont pas de diviseur commun autre que 1).

En élevant au carré : \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 2q^2\). Ainsi \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p = 2k\).

Alors \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\) : \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.

Contradiction : \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, donc divisibles par 2, alors que la fraction était irréductible. Conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Pour démontrer par l’absurde que « 0 n’a pas d’inverse », on commence par…

supposer qu’il existe un réel \(a\) tel que \(0 \times a = 1\)
supposer que \(0 \times a = 0\) pour tout réel \(a\)
vérifier sur quelques exemples que \(0 \times a\) ne fait pas 1

On suppose le contraire de ce qu’on veut démontrer : 0 a un inverse a. Alors \(0 \times a = 1\), or \(0 \times a = 0\), d’où la contradiction \(0 = 1\). Des exemples ne suffisent jamais à démontrer.

3. Le raisonnement par contraposée

Principe : pour démontrer \(A \Rightarrow B\), on démontre à la place \(\text{non } B \Rightarrow \text{non } A\), qui lui est équivalente. On l’utilise quand l’hypothèse « non \(B\) » est plus facile à exploiter que l’hypothèse \(A\).

Exemple résolu : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair

Une preuve directe bloque : savoir que \(n^2\) est pair ne donne pas facilement d’écriture de \(n\). Cherche d’abord quelle est la contraposée, puis démontre-la.

Contraposée : « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ». Il suffit de démontrer celle-ci.

Soit \(n\) impair : il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k+1\).

\[n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\] Comme \(2k^2 + 2k\) est un entier, \(n^2\) est impair.

La contraposée est vraie, donc l’implication de départ l’est aussi : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.

À toi : démontre que pour tout réel \(x\), si \(x^2 \neq 9\) alors \(x \neq 3\).

Voir la solution

La contraposée est « si \(x = 3\), alors \(x^2 = 9\) ». Elle est évidente : \(3^2 = 9\). Comme la contraposée est vraie, l’implication l’est aussi.

Pour démontrer « si \(ab\) est impair, alors \(a\) et \(b\) sont impairs » par contraposée, on démontre…

si \(a\) et \(b\) sont impairs, alors \(ab\) est impair
si \(a\) est pair ou \(b\) est pair, alors \(ab\) est pair
si \(a\) et \(b\) sont pairs, alors \(ab\) est pair

La négation de « a et b impairs » est « a pair ou b pair ». La réponse 1 est la réciproque ; la réponse 3 ne traite pas le cas où un seul des deux est pair.

Choisir son raisonnement

flowchart TD
E[Énoncé à démontrer] --> Q1{Plusieurs situations différentes}
Q1 -->|oui| D[Disjonction de cas]
Q1 -->|non| Q2{Implication dont la conclusion est négative ou difficile}
Q2 -->|oui| C[Contraposée]
Q2 -->|non| Q3{Énoncé de non existence ou d impossibilité}
Q3 -->|oui| A[Raisonnement par l absurde]
Q3 -->|non| R[Essayer une preuve directe]

Erreurs fréquentes

Démontrer la réciproque au lieu de la contraposée.
Mal écrire une négation : le contraire de « \(x > 3\) » est « \(x \leq 3\) », et non « \(x < 3\) » ; le contraire de « \(a\) et \(b\) » est « non \(a\) ou non \(b\) ».
Oublier un cas dans une disjonction de cas (par exemple \(x = 0\)).
Dans un raisonnement par l’absurde, oublier d’annoncer la supposition (« supposons par l’absurde que… ») ou de conclure clairement.
Croire que vérifier quelques exemples suffit : un exemple peut seulement prouver qu’une propriété est fausse (contre-exemple).

Récapitulatif

Contraposée de \(A \Rightarrow B\) : \(\text{non } B \Rightarrow \text{non } A\), toujours équivalente ; la réciproque \(B \Rightarrow A\) ne l’est pas.
Disjonction de cas : découper en cas qui couvrent tout, démontrer dans chaque cas.
Absurde : supposer le contraire, aboutir à une contradiction, conclure.
Contraposée : démontrer non \(B \Rightarrow\) non \(A\) à la place de \(A \Rightarrow B\).

Réciproque

De A implique B : c’est B implique A. Pas forcément vraie.

Contraposée

De A implique B : c’est non B implique non A. Toujours équivalente à l’implication.

Disjonction de cas

On découpe en cas couvrant toutes les possibilités (pair ou impair, signe de x…) et on démontre dans chacun.

Raisonnement par l’absurde

On suppose le contraire de ce qu’on veut prouver et on aboutit à une contradiction.

Négation de x > 3

x ≤ 3 (et non x < 3).