Objectifs

• Utiliser le théorème d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle quelconque.
• Calculer un angle à partir des coordonnées de vecteurs.
• Utiliser le théorème de la médiane et la formule \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}\).
• Déterminer des ensembles de points (lignes de niveau) et calculer une aire avec le sinus.

Rappels utiles

Pour deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) :

• \(\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)\) ;
• dans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\), alors \(\vec u\cdot\vec v = xx' + yy'\) ;
• \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\), donc \(\vec{AB}\cdot\vec{AB} = AB^2\) ;
• \(\vec u\cdot\vec v = 0\) si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux.

1. Le théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle \(ABC\), on note \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\) et \(\hat A\) l'angle en \(A\). Alors :

C'est un « Pythagore généralisé », comme une recette de famille à laquelle on ajoute un ingrédient : si \(\hat A = 90^\circ\), alors \(\cos\hat A = 0\) et on retrouve \(a^2 = b^2 + c^2\).

D'où vient la formule ? Suis la démonstration sur la figure :

Exemple résolu 1 : calculer une longueur

Dans le triangle de la figure, \(b = 5\), \(c = 8\) et \(\hat A = 60^\circ\). Calcule \(a\). Cherche d'abord.

Fais varier l'angle \(\hat A\) (en radians, sur l'axe horizontal) et les côtés \(b\) et \(c\) : la courbe donne la longueur \(a = BC\). Vérifie qu'avec \(b = 5\), \(c = 8\) et \(x \approx 1{,}05\) (soit \(60^\circ\)), on lit \(a = 7\).

Plus l'angle s'ouvre, plus le côté opposé s'allonge : de \(|c - b|\) quand l'angle est nul jusqu'à \(b + c\) quand il vaut \(\pi\) (triangle aplati).

Exemple résolu 2 : calculer un angle

Un triangle a pour côtés \(a = 7\), \(b = 5\), \(c = 8\). Calcule l'angle \(\hat B\). Cherche d'abord.

2. Calculer un angle avec des coordonnées

On calcule le produit scalaire de deux façons et on compare :

Exemple résolu 3

Dans un repère orthonormé, \(A(1;2)\), \(B(4;3)\), \(C(2;5)\). Calcule l'angle \(\widehat{BAC}\). Cherche d'abord.

3. Le théorème de la médiane

Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Pour tout point \(M\) :

Idée de la preuve : on écrit \(\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}\) et \(\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB} = \vec{MI} - \vec{IA}\), puis on développe comme une identité remarquable : \((\vec{MI} + \vec{IA})\cdot(\vec{MI} - \vec{IA}) = MI^2 - IA^2\), avec \(IA = \frac{AB}{2}\).

Exemple résolu 4

\(AB = 6\), \(I\) milieu de \([AB]\) et \(MI = 4\). Calcule \(MA^2 + MB^2\) et \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}\).

4. Ensembles de points (lignes de niveau)

• L'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
• Plus généralement, \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = k\) équivaut à \(MI^2 = k + \frac{AB^2}{4}\) : si ce nombre est positif, c'est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\sqrt{k + \frac{AB^2}{4}}\) ; s'il est nul, c'est le point \(I\) ; s'il est négatif, l'ensemble est vide.
• L'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{AM}\cdot\vec u = k\) (\(\vec u\) non nul) est une droite orthogonale à \(\vec u\).

Exemple résolu 5

\(AB = 4\). Détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 5\). Cherche d'abord.

5. Aire d'un triangle et loi des sinus

Exemple résolu 6

Le champ de Moussa : \(b = 50\) m, \(c = 80\) m, \(\hat A = 60^\circ\). Calcule son aire, puis son prix si le mètre carré vaut 2 000 F CFA.

Erreurs fréquentes

• Oublier le facteur 2 dans \(-2bc\cos\hat A\).
• Utiliser un angle qui n'est pas compris entre les deux côtés connus.
• Calculatrice en radians au lieu de degrés.
• Confondre \(\frac{AB^2}{2}\) (somme des carrés) et \(\frac{AB^2}{4}\) (produit scalaire) dans le théorème de la médiane.
• Conclure à un cercle sans vérifier que \(k + \frac{AB^2}{4}\) est positif.

Récapitulatif

Al-Kashi (\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat A\)) donne une longueur ou un angle dans tout triangle ; les coordonnées donnent un cosinus avec \(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) ; le théorème de la médiane relie \(MA\), \(MB\) et \(MI\) ; \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = k\) décrit un cercle de centre \(I\), un point ou rien ; l'aire vaut \(\frac12 bc\sin\hat A\).