Objectifs

• Comprendre comment la fonction exponentielle intervient dans les primitives et les équations différentielles.
• Calculer des primitives de \(e^{a x}\) et connaître les conditions sur a.
• Résoudre des équations différentielles simples de type \(y' = k y\) et interpréter le résultat.

Notions clés

Notion 1 : Primitive et anti-dérivée. Si f est continue sur un intervalle, alors une primitive F existe et se note souvent \(F(x) = \int f(x) \,dx\) + C. En particulier, pour f(x) = \(e^{a x}\) (avec \(a \neq 0\)), on obtient la primitive \[ \int e^{a x} \,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C \qquad (a \neq 0) .

Notion 2 : Dérivation de l exponentielle composée. Si \(u(x)\) est une fonction dérivable, alors \[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x) e^{u(x)}. \] Cela permet d'utiliser l exponentielle dans les équations différentielles non triviales.

Notion 3 : Équations différentielles du premier ordre à coefficients constants. Pour une équation du type \[ y'(x) = k \, y(x) \quad (k \in \mathbb{R}) \] on peut séparer les variables et intégrer: \begin{align} \frac{dy}{dx} &= k y \\ \frac{1}{y} dy &= k \, dx \\ \ln|y| &= k x + C \\ y(x) &= C e^{k x}. \end{align}

Exemples résolus

Exemple 1 : primitive de \(e^{2x}\)

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Primitive : \(F'(x) = f(x)\) et \(F(x) = \int f(x) dx + C\).
• Pour \(e^{a x}\): \[ \int e^{a x} dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C \quad (a \neq 0) \]
• Dérivation de l exponentielle composée : \( \frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x) e^{u(x)} \).
• Équation \(y' = k y\) donne \(y(x) = C e^{k x}\).

Cartes mémo

Schéma : courbe exponentielle et dérivée