Objectifs

• Reconnaître une situation de proportionnalité (et une situation qui ne l'est pas).
• Compléter un tableau de proportionnalité avec le coefficient, le passage à l'unité ou les propriétés des colonnes.
• Calculer une quatrième proportionnelle dans des situations de la vie courante (achats, recettes, vitesse).
• Utiliser une échelle et appliquer un pourcentage.

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

Notion clé

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de la seconde en multipliant celles de la première par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Ici le coefficient est \(200\) : \(\text{prix} = 200 \times \text{nombre de sachets}\). Pour le vérifier, on calcule chaque quotient : \(\dfrac{400}{2} = \dfrac{1\,000}{5} = \dfrac{1\,600}{8} = 200\).

Manipule : proportionnel ou pas ?

La première droite représente \(y = a \times x\) ; la seconde \(y = a \times x + b\) (avec une somme fixe \(b\)). Fais varier \(a\) et \(b\). Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l'origine.

2. Trois méthodes pour calculer une valeur manquante

Méthode A : le passage à l'unité

On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie : \(750 \div 3 = 250\) F pour 1 cahier, puis \(250 \times 7 = 1\,750\) F pour 7 cahiers.

Méthode B : le coefficient de proportionnalité

Le coefficient qui fait passer du nombre de cahiers au prix est \(\dfrac{750}{3} = 250\). Donc \(7 \times 250 = 1\,750\) F.

Méthode C : les propriétés des colonnes

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes ou multiplier une colonne par un nombre. Exemple : 6 cahiers \(= 2 \times 3\), donc \(2 \times 750 = 1\,500\) F ; 7 cahiers \(= 6 + 1\), donc \(1\,500 + 250 = 1\,750\) F.

Pour choisir ta méthode :

flowchart LR
A[Situation] --> B{Proportionnelle}
B -->|non| C[Pas de calcul par proportion]
B -->|oui| D[Trouver le coefficient ou la valeur pour 1]
D --> E[Multiplier]
E --> F[Verifier si le resultat est logique]

Exemple résolu 1 : le jus de bissap

Pour préparer 2 litres de jus de bissap, Adjoa utilise 100 g de fleurs d'hibiscus séchées. Quelle masse de fleurs lui faut-il pour 5 litres ? Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Exemple résolu 2 : la vitesse constante

Un car roule à vitesse constante entre Lomé et Kpalimé : il parcourt 60 km en 1 h. Quelle distance parcourt-il en 2 h 30 min ?

3. Les échelles

L'échelle d'une carte ou d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur la carte et les distances réelles, exprimées dans la même unité :

Une échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\) signifie que 1 cm sur la carte représente \(50\,000\) cm en réalité, c'est-à-dire \(500\) m.

Exemple résolu 3

Sur la carte de Seydou, à l'échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\), deux villages sont séparés de 3 cm. Quelle est la distance réelle en km ?

4. Les pourcentages

Prendre \(t\,\%\) d'une quantité, c'est la multiplier par \(\dfrac{t}{100}\). C'est une situation de proportionnalité de coefficient \(\dfrac{t}{100}\) : « 20 % » veut dire « 20 pour 100 ».

Exemple résolu 4

Exemple résolu 5 : trouver un pourcentage

Dans une classe de 40 élèves à Niamey, 18 sont des filles. Quel est le pourcentage de filles ?

Erreurs fréquentes

• Appliquer la proportionnalité à une situation qui ne l'est pas (somme fixe, âge et taille…).
• Additionner au lieu de multiplier : si 3 cahiers coûtent 750 F, 6 cahiers ne coûtent pas \(750 + 3\) F mais \(750 \times 2\).
• Écrire 2 h 30 min \(= 2{,}30\) h au lieu de \(2{,}5\) h.
• Oublier de soustraire la réduction : 20 % de réduction donne le montant de la baisse, pas le nouveau prix.

Récapitulatif

• Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même coefficient.
• Pour trouver une valeur manquante : passage à l'unité, coefficient, ou propriétés des colonnes.
• Échelle \(= \dfrac{\text{distance carte}}{\text{distance réelle}}\), dans la même unité.
• Prendre \(t\,\%\) d'un nombre, c'est le multiplier par \(\dfrac{t}{100}\).