Objectifs

• Comprendre qu’une carte ou un plan est une réduction (ou un agrandissement) de la réalité.
• Utiliser une échelle numérique pour calculer une distance réelle, une distance sur la carte ou l’échelle elle-même.
• Lire et utiliser une échelle graphique.
• Calculer une aire réelle à partir d’une carte (effet de l’échelle sur les aires).
• Savoir ce qu’est un SIG et comment il gère l’échelle et les mesures.

1. L’échelle d’une carte ou d’un plan

Sur une carte ou un plan, toutes les longueurs réelles sont multipliées par un même nombre appelé échelle :

\[ \text{échelle} = \frac{\text{distance sur la carte}}{\text{distance réelle}} \quad \text{(les deux distances dans la même unité)} \]

Une échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\) (on lit « un cinquante millième ») signifie : 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité, c’est-à-dire 500 m.

Les trois calculs à savoir faire

Avec une échelle \(\dfrac{1}{n}\) :

\[ \text{distance réelle} = \text{distance sur la carte} \times n \qquad \text{distance sur la carte} = \frac{\text{distance réelle}}{n} \]

Exemple résolu 1 (de la carte au terrain). Sur une carte au \(\dfrac{1}{50\,000}\), le chemin entre deux villages mesure 6 cm. Quelle est la distance réelle ?

Exemple résolu 2 (du terrain à la carte). Une piste mesure 4,5 km. Quelle longueur aura-t-elle sur une carte au \(\dfrac{1}{25\,000}\) ? Cherche d’abord.

Exemple résolu 3 (trouver l’échelle). Sur le plan d’une parcelle à Dakar, un mur de 40 m est dessiné par un segment de 8 cm. Quelle est l’échelle du plan ?

Fais varier la distance mesurée sur la carte (axe horizontal, en cm) et le nombre de kilomètres représentés par 1 cm : la distance réelle (axe vertical, en km) est une droite qui passe par l’origine, signe de proportionnalité.

Par exemple, \(e = 0{,}5\) correspond à l’échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\) (1 cm pour 0,5 km) et \(e = 2\) à l’échelle \(\dfrac{1}{200\,000}\).

2. L’échelle graphique

Une échelle graphique est un segment gradué dessiné sur la carte, qui indique directement la distance réelle qu’il représente. On reporte la distance à mesurer sur cette barre (avec une règle, un compas ou une bande de papier).

Exemple résolu 4. Sur la carte ci-dessus, le segment de 0 à 1 km mesure 2 cm. Quelle est l’échelle numérique ?

3. Échelle et aires

Une carte au \(\dfrac{1}{n}\) est une réduction de rapport \(k = \dfrac{1}{n}\). Comme pour tout agrandissement ou réduction, les longueurs sont multipliées par \(k\) et les aires par \(k^2\). Pour revenir à la réalité, on multiplie donc les longueurs par \(n\) et les aires par \(n^2\).

Exemple résolu 5. Sur un plan au \(\dfrac{1}{10\,000}\), le champ de l’oncle Seydou est un rectangle de 3 cm sur 2 cm. Quelle est son aire réelle ? Cherche d’abord.

4. Le SIG : la carte numérique

Un SIG (système d’information géographique) est un outil informatique qui rassemble des données repérées sur la Terre (par leurs coordonnées : latitude et longitude) et les affiche sous forme de cartes. Les informations sont rangées en couches que l’on superpose ou que l’on cache.

flowchart LR
C1[Couche routes] --> S[SIG]
C2[Couche rivieres] --> S
C3[Couche villes et ecoles] --> S
C4[Couche relief] --> S
S --> R1[Carte a l ecran]
S --> R2[Mesure de distances et d aires]
S --> R3[Itineraire]

Ce que le SIG fait avec l’échelle :

• quand on zoome, l’échelle change : zoomer 2 fois fait passer par exemple de \(\dfrac{1}{50\,000}\) à \(\dfrac{1}{25\,000}\) ; c’est pourquoi l’écran affiche une échelle graphique qui se met à jour ;
• il calcule lui-même les distances et les aires réelles à partir des coordonnées, sans qu’on ait à appliquer l’échelle ;
• il permet de choisir les couches utiles (par exemple, seulement les centres de santé et les routes d’une région).

Récapitulatif

• \(\text{échelle} = \dfrac{\text{distance sur la carte}}{\text{distance réelle}}\), dans la même unité ; elle n’a pas d’unité.
• Au \(\dfrac{1}{n}\) : distance réelle \(=\) distance carte \(\times n\) ; distance carte \(=\) distance réelle \(\div n\).
• L’échelle graphique se reporte directement et reste juste quand la carte est agrandie ou réduite.
• Les aires réelles s’obtiennent en multipliant les aires de la carte par \(n^2\).
• Un SIG superpose des couches de données géographiques, adapte l’échelle au zoom et calcule distances et aires.