Utiliser les nombres pour résoudre des problèmes — Comparaison, encadrement, ordres de grandeur

Apprendre à comparer, encadrer et estimer des grandeurs pour raisonner rapidement et prendre des décisions simples dans la vie quotidienne.

Objectifs

Savoir comparer des nombres entiers et décimaux.
Utiliser l'encadrement pour estimer une quantité sans calculer exactement.
Employer les ordres de grandeur pour raisonner sur l'ampleur d'un problème.

Notions clés

Comparaison : on cherche à savoir si deux nombres se surpassent l'un l'autre. On écrit typiquement \(a < b\) ou \(a \le b\). Par exemple, on peut écrire \(256 < 360\) pour comparer.

Encadrement : on place une quantité \(x\) entre deux bornes: \(a \le x \le b\). Exemple: si l'on sait que \(150 \le x \le 200\), x est encadré entre 150 et 200.

Ordre de grandeur : estimation par les puissances de 10 pour situer rapidement une quantité. Par exemple, \(3 \times 10^3\) a un ordre de grandeur de \(10^3\) et l'on peut dire que \(3{}2\times 10^4\) est proche de \(10^4\) ou \(10^5\).

Schéma rapide des ordres de grandeur (affiché ci-dessous pour visualiser l'échelle):

\[ 3 \times 10^3 \]

Exemples résolus

Exemple 1 : comparaison

Comparer \(256 < 360\).

On voit que 256 est plus petit que 360, donc \(256 < 360\).

Voir la solution

En comparant les deux nombres, on constate que 256 est bien inférieur à 360: \(256 < 360\).

Exemple 2 : encadrement

Encadrer le nombre x sachant que \(150 < x < 200\).

L'encadrement est \(150 \le x \le 200\).

Voir la solution

On peut écrire: \(150 < x < 200\) ou, si l'on veut une borne inclusive: \(150 \le x \le 200\).

Exemple 3 : ordre de grandeur

Estimer combien peut coûter un objet dont le prix est approximé par \(2{}5 \times 10^6\) €.

L'ordre de grandeur est \(10^6\).

Voir la solution

2,5 × 10^6 se situe dans l'ordre de grandeur de 10^6, donc on peut estimer le coût autour de 1 000 000 € (à quelques centaines de milliers près selon le contexte).

Erreurs fréquentes

Confondre comparaison et égalité: il faut distinguer dire lequel est le plus grand et dire s'ils sont égaux.
Oublier l'unité ou le contexte quand on encadre ou calcule.
Ne pas préciser l'ordre de grandeur et se tromper sur le niveau d'approximation nécessaire.

Récapitulatif

Comparaison: dire lequel est plus grand ou si les nombres sont égaux.
Encadrement: placer une quantité entre deux bornes; permet une estimation fiable.
Ordre de grandeur: estimation rapide utilisant les puissances de 10.

Cartes mémo

Comparaison

Dire lequel est plus grand ou s'ils sont égaux.

Encadrement

Placer une quantité entre deux bornes: a ≤ x ≤ b.

Ordre de grandeur

Estimation rapide à partir des puissances de 10.

Mini-quiz de vérification

Laquelle affirmation est correcte ?

La comparaison consiste à estimer l'ordre de grandeur uniquement.
L'encadrement place une quantité entre deux bornes.
L'ordre de grandeur donne la valeur exacte d'un nombre.

La bonne réponse est 2: l'encadrement place la quantité entre deux bornes.