Savoir passer d'une fraction à un décimal et à l'écriture scientifique permet de comparer, calculer et écrire proprement des nombres très grands ou très petits.

Écritures fractionnaires, décimales et scientifiques

Niveau : 3ème — Thème : Utiliser les nombres pour résoudre des problèmes

Objectifs

Connaître et reconnaître les écritures fractionnaires et décimales.
Savoir convertir une fraction en décimal (fini ou périodique) et inversement.
Utiliser et écrire un nombre en écriture scientifique \(a\times 10^{n}\) avec \(1\leq a<10\) et \(n\in\mathbb{Z}\).

1. Écritures fractionnaires

Définition : une fraction \(\frac{a}{b}\) représente la division de l'entier \(a\) par l'entier non nul \(b\). Le numérateur est \(a\) et le dénominateur est \(b\).

Exemple résolu — simplifier \(\frac{8}{12}\)

Étape 1 : Trouver un diviseur commun, ici 4.

Étape 2 : Calcul : \[\frac{8}{12}=\frac{8\div 4}{12\div 4}=\frac{2}{3}.\]

Quelle est la forme simplifiée de \(\frac{15}{35}\) ?

\(\frac{3}{7}\)
\(\frac{1}{7}\)
\(\frac{5}{7}\)

Diviseur commun 5 : \(15\div 5=3\), \(35\div 5=7\) donc \(\frac{3}{7}\).

2. Écritures décimales

Définition : un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale écrite après la virgule. Une écriture décimale peut être finie (ex. 0,75) ou périodique (ex. 0,333...).

Conversion fraction → décimal

Exemple : convertir \(\frac{3}{8}\) en décimal.

Étape 1 : Diviser 3 par 8 (ou multiplier numérateur et dénominateur par 125 si on connaît les tables).

Étape 2 : Calcul affiché : \[\frac{3}{8}=0{}375.\]

Conversion décimal périodique → fraction

Exemple : montrer que \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\).

Posez \(x=0.\overline{3}\).

Multipliez par 10 : \[10x=3.\overline{3}.\]

Soustrayez : \[10x-x=9x=3\Rightarrow x=\frac{1}{3}.\]

Quelle fraction correspond à \(0{}72\) ?

\(\frac{72}{720}\)
\(\frac{9}{25}\)
\(\frac{18}{25}\)

\(0{}72=\frac{72}{100}=\frac{18}{25}\) après simplification par 4.

3. Écriture scientifique

Définition : un nombre non nul s'écrit en notation scientifique sous la forme \(a\times 10^{n}\) où \(1\leq a<10\) et \(n\) est un entier relatif.

Exemples :

\(0{}00042=4{}2\times 10^{-4}\).
\(3\,200\,000=3{}2\times10^{6}\).

Conversion rapide : déplacer la virgule selon la puissance de 10.

Quelle est l'écriture scientifique de \(0{}0056\) ?

\(56\times10^{-4}\)
\(5{}6\times10^{-3}\)
\(0{}56\times10^{-2}\)

Déplacer la virgule de 3 places à droite : \(0{}0056=5{}6\times10^{-3}\).

Erreurs fréquentes et astuces

Exemple pratique (chercher d'abord) — convertir \(\frac{7}{16}\) en décimal :

Voir la solution

Multiplier numerator et denominator by 625 gives denominator 10000 (optional). Or compute the division: \[\frac{7}{16}=0{}4375.\]

Parmi ces écritures, laquelle est correcte et égale à \(3\,200\,000\) ?

\(3{}2\times10^{6}\)
\(32\times10^{5}\)
\(0{}32\times10^{7}\)

La forme normalisée impose \(1\leq a<10\), donc \(3{}2\times10^{6}\) est correcte.

Schéma : visualiser les fractions sur une demi-droite

La figure montre des repères utiles pour comprendre les équivalences décimales/fractionnaires.

Récapitulatif

Fraction \(\frac{a}{b}\) = division \(a\div b\).
Décimal fini ↔ dénominateur puissance de 10 après simplification.
Décimal périodique → utiliser la méthode algébrique (poser \(x\), multiplier, soustraire).
Écriture scientifique : écrire \(a\times10^{n}\) avec \(1\leq a<10\).

Cartes mémo

Fraction

Nombre de parts: \(\frac{a}{b}\) signifie \(a\div b\).

Décimal périodique

Poser \(x\), multiplier pour aligner la période, soustraire pour résoudre.

Simplifier

Diviser numérateur et dénominateur par un même PGCD.

Écriture scientifique

Forme \(a\times10^{n}\) avec \(1\leq a<10\).