Valeur absolue et intervalles de type [a - r, a + r]
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Mathematiques - Niveau 2nde
Thème : Nombres réels et intervalles
Valeur absolue et intervalles de type [a - r, a + r]
1. La valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, représente sa distance à 0 sur la droite numérotée. Cela signifie que :
- |x| = x si x est positif ou nul,
- |x| = -x si x est négatif.
- |3| = 3,
- |-5| = 5,
- |0| = 0.
2. Les intervalles de la forme [a - r, a + r]
Ce sont des intervalles fermés centré en a, avec un rayon r ≥ 0. Ils désignent tous les nombres x tels que :
- a - r ≤ x ≤ a + r.
Exemples :
- Si a = 4 et r = 2, l'intervalle est [2, 6], désignant tous x tels que 2 ≤ x ≤ 6.
- Si a = -3 et r = 1, l'intervalle est [-4, -2].
3. Relations entre valeur absolue et intervalles
Pour tout réel x, la condition |x - a| ≤ r est équivalente à :
- a - r ≤ x ≤ a + r,
Autrement dit, l'ensemble {x | |x - a| ≤ r} est l'intervalle [a - r, a + r].
4. Résolution avec la valeur absolue
Exprimer une inégalité du type |x - a| ≤ r revient à déterminer un intervalle autour de a. Exemple : Supposons |x - 3| < 2. Cela revient à :
- -2 < x - 3 < 2,
- donc 1 < x < 5.
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