Définition

La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(\left| x \right|\), mesure la distance entre ce nombre et zéro sur la droite numérique.

Propriétés principales

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• Pour tout \x \(x \in \mathbb{R}\), \(\left| x \right| \geq 0\).
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• \( \left| x \right| = 0 \) si et seulement si \(x = 0\).
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• Pour tout \x \(x \in \mathbb{R}\), \(\left| -x \right| = \left| x \right|\).
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• Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\), \(\left| x \times y \right| = \left| x \right| \times \left| y \right|\).
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• Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\), \(\left| x + y \right| \leq \left| x \right| + \left| y \right|\) (inégalité triangulaire).
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Calculs avec la valeur absolue

Pour calculer la valeur absolue d'un nombre, il faut considérer si ce nombre est positif ou négatif :

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• Si \(x \geq 0\), alors \(\left| x \right| = x\).
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• Si \(x < 0\), alors \(\left| x \right| = -x\).
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Exemples :

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• \(\left| 5 \right| = 5\).
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• \(\left| -3 \right| = -(-3) = 3\).
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Applications

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• Mesurer une distance sur la droite numérique.
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• Résoudre des inéquations impliquant la valeur absolue, comme :
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\(\left| x - 3 \right| < 2\)

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qui reviendra à résoudre l'ensemble des \(x\) tels que \(1 < x < 5\).

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