Définition

La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(\left| x \right|\), mesure la distance entre ce nombre et zéro sur la droite numérique.

Propriétés principales

• Pour tout \x \(x \in \mathbb{R}\), \(\left| x \right| \geq 0\).
• \( \left| x \right| = 0 \) si et seulement si \(x = 0\).
• Pour tout \x \(x \in \mathbb{R}\), \(\left| -x \right| = \left| x \right|\).
• Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\), \(\left| x \times y \right| = \left| x \right| \times \left| y \right|\).
• Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\), \(\left| x + y \right| \leq \left| x \right| + \left| y \right|\) (inégalité triangulaire).

Calculs avec la valeur absolue

Pour calculer la valeur absolue d'un nombre, il faut considérer si ce nombre est positif ou négatif :

• Si \(x \geq 0\), alors \(\left| x \right| = x\).
• Si \(x < 0\), alors \(\left| x \right| = -x\).

Exemples :

• \(\left| 5 \right| = 5\).
• \(\left| -3 \right| = -(-3) = 3\).

Applications

• Mesurer une distance sur la droite numérique.
• Résoudre des inéquations impliquant la valeur absolue, comme :

\(\left| x - 3 \right| < 2\)

qui reviendra à résoudre l'ensemble des \(x\) tels que \(1 < x < 5\).