Objectifs

• Construire et vérifier une loi discrète.
• Calculer espérance, variance et écart-type.
• Reconnaître et utiliser un schéma binomial.

Décrire une variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète associe un nombre à chaque issue. Sa loi donne les valeurs possibles \(x_i\) et les probabilités \(p_i=P(X=x_i)\), positives ou nulles, avec \(\sum_i p_i=1\). La variable ne désigne pas une probabilité : elle désigne une valeur dont on étudie la probabilité.

Exercice fictif : le nombre de colis vaut zéro, un ou deux, avec les probabilités du tableau.

Vérifie la loi, puis calcule \(P(X\ge1)\).

Espérance et dispersion

Pour une loi finie, \[E(X)=\sum_i x_i p_i,\qquad V(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2p_i.\] La variance mesure une dispersion autour de l’espérance ; l’écart-type est \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\). On peut aussi utiliser \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\). L’espérance n’est pas nécessairement une valeur prise par la variable.

Calcule l’espérance et la variance pour la loi fictive des colis.

Compter des succès : loi binomiale

Un schéma de Bernoulli répète \(n\) épreuves indépendantes, avec deux issues et une même probabilité de succès \(p\). Si \(X\) compte les succès, alors \(X\sim\mathcal B(n,p)\) et \[P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\quad k\in\{0,\ldots,n\}.\] On a \(E(X)=np\) et \(V(X)=np(1-p)\). Un tirage sans remise ne respecte généralement pas ces hypothèses.

flowchart LR
A[Epreuves independantes identiques] --> B[Succes ou echec]
B --> C[Compter les succes]
C --> D[Loi binomiale]

Dans le modèle fictif, \(n=4\) et \(p=\frac14\). Calcule la probabilité de deux succès, l’espérance et la variance.

Erreurs fréquentes

Résumé

La loi donne les probabilités ; ses paramètres résument la moyenne et la dispersion sans remplacer les hypothèses.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner les cartes.