Variables Aléatoires Réelles : Applications en Jeu Équitable et Estimation

1. Introduction aux variables aléatoires réelles

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel. Elle permet de modéliser des phénomènes incertains en quantifiant des résultats possibles.

2. Application : Jeu équitable

Définition du jeu

Considérons un jeu où l'on lance un dé à six faces équilibré. Si la face est 6, le joueur gagne 10 euros, sinon il ne gagne rien.

Variable aléatoire associée

La variable aléatoire \( X \) représentant le gain est définie par :

\( X = 10 \) avec une probabilité de \( rac{1}{6} \)
\( X = 0 \) avec une probabilité de \( rac{5}{6} \)

Calcul de l'espérance

L'espérance \( \mathbb{E}(X) \) correspond à la moyenne pondérée :

  \[ \mathbb{E}(X) = \sum_{i} x_i 	imes P(X = x_i) \]

Dans notre exemple :

  \[ \mathbb{E}(X) = 10 	imes rac{1}{6} + 0 	imes rac{5}{6} = rac{10}{6} = rac{5}{3} pprox 1.67\, 	ext{euros} \]

Ce résultat indique que, en moyenne, le joueur gagne environ 1,67 euro par partie, ce qui montre que le jeu n'est pas équitable si l'on considère la mise initiale. Pour rendre le jeu équitable, la mise doit correspondre à l'espérance.

3. Application : Estimation

Objectif

Utiliser une variable aléatoire pour estimer une grandeur inconnue, comme la moyenne d'une population à partir d'échantillons.

Exemple d'estimation

Supposons qu'on veut estimer la moyenne \( \mu \) de la taille des élèves d'une classe. On interroge 10 élèves et obtient les tailles suivantes (en cm) : 160, 165, 170, 168, 162, 167, 169, 163, 166, 164.

Calcul de la moyenne échantillonnale

La variable aléatoire \( X_i \) représente la taille de l'élève \( i \). La moyenne échantillonnale \( ar{X} \) est :

  \[ ar{X} = rac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

Avec \( n=10 \), la somme des tailles :

  160 + 165 + 170 + 168 + 162 + 167 + 169 + 163 + 166 + 164 = 1654

Donc :

  \[ ar{X} = rac{1654}{10} = 165,4\, 	ext{cm} \]

Cette moyenne est une estimation de la taille moyenne de l'ensemble des élèves.

4. Résumé

Les variables aléatoires représentent des résultats incertains en chiffres.
L'espérance permet de connaître la moyenne théorique d'une variable.
Les applications permettent de jouer à des jeux équitables et d'estimer des paramètres inconnus.

Les notions clés : espérance, variable aléatoire, estimation.