Comprendre l'espérance et la variance permet de décider si un jeu est équitable et d'évaluer la qualité d'un estimateur (biais, variance).

Variables aléatoires réelles — jeux équitables et estimation

Durée estimée : 30–45 minutes. Niveau : 1ère.

Objectifs

Rappeler les définitions d'espérance et de variance pour une variable aléatoire réelle.
Savoir déterminer si un jeu est équitable à l'aide de l'espérance.
Comprendre les notions d'estimateur, biais et variance, avec des exemples simples.

Notions clés

Définitions (discret, cas simple)

Soit \(X\) une variable aléatoire qui prend des valeurs \(x_i\) avec des probabilités \(p_i\).

Espérance :

\(\displaystyle E(X)=\sum_i x_i p_i\).

Variance :

\(\displaystyle \operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^2\big)=E(X^2)-E(X)^2\).

Jeu équitable (formule simple)

Si le gain net par partie est la variable aléatoire \(G\), le jeu est équitable si :

\(\displaystyle E(G)=0\).

Estimateurs — notions

Pour des observations iid \(X_1,\dots,X_n\) de moyenne inconnue \(\mu\) et variance \(\sigma^2\), l'estimateur usuel est la moyenne empirique :

\(\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\).

On dit qu'un estimateur \(\hat{\theta}\) est non biaisé si \(E(\hat{\theta})=\theta\).

Propriétés de \(\overline{X}\)

Espérance :

\(\displaystyle E(\overline{X})=\mu\) (donc non biaisé).

Variance :

\(\displaystyle \operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\).

Quel est l'effet d'augmenter \(n\) sur \(\operatorname{Var}(\overline{X})\) ?

La variance augmente proportionnellement à \(n\).
La variance diminue et tend vers 0 quand \(n\) augmente.
La variance reste constante.

Comme \(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n\), elle diminue lorsque \(n\) augmente.

Schéma illustratif : jeu à deux issues (SVG)

Le schéma montre un jeu simple : on mise \(c\), on gagne \(a\) avec probabilité \(p\) (gain net \(a-c\)) et on perd la mise sinon (gain net \(-c\)).

Exemples résolus

Exemple 1 — Jeu équitable (cas discret simple)

Enoncer : On propose un jeu où l'on paie \(c\) pour jouer. Avec probabilité \(p\) on reçoit \(a\) ; autrement on ne reçoit rien. Déterminer la condition d'équité sur \(c\).

Étape 1 — écrire le gain net \(G\) : \(G=a-c\) avec probabilité \(p\) et \(G=-c\) avec probabilité \(1-p\).

Étape 2 — calculer l'espérance : \(\displaystyle E(G)=p(a-c)+(1-p)(-c)\).

Étape 3 — simplifier : \(\displaystyle E(G)=pa-c\).

Étape 4 — condition d'équité : poser \(E(G)=0\) donc \(c=pa\). Le prix \(c\) doit être égal au gain moyen \(pa\).

Voir le calcul en une formule

On a

\[\begin{align} E(G)&=p(a-c)+(1-p)(-c)\\ &=pa-pc -c + pc = pa-c. \end{align}\]

Si \(a=10\) et \(p=0{,}2\), quel prix \(c\) rend le jeu équitable ?

\(2\)
\(5\)
\(8\)

On utilise \(c=pa=0{,}2\times 10=2\).

Exemple 2 — Estimation : moyenne empirique

Enoncer : Soit \(X_1,\dots,X_n\) iid de moyenne \(\mu\) et variance \(\sigma^2\). Montrer que \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\) est non biaisé et calculer sa variance.

Voir la solution (cherche d'abord)

Espérance :

\[\begin{align} E(\overline{X})&=E\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu. \end{align}\]

Variance (indépendance) :

\[\begin{align} \operatorname{Var}(\overline{X})&=\operatorname{Var}\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)\\ &=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}. \end{align}\]

Conclusion : \(\overline{X}\) est non biaisé et sa variance décroît en \(1/n\).

Si \(\sigma^2=4\) et \(n=16\), que vaut \(\operatorname{Var}(\overline{X})\) ?

\(4\)
\(1\)
\(0{,}25\)

\(\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^2/n=4/16=0{,}25\).

Erreurs fréquentes

Autres pièges :

Penser qu'un jeu avec espérance négative peut parfois être rentable sur quelques parties : l'espérance décrit le comportement moyen sur un grand nombre de répétitions, pas le résultat d'une seule partie.
Prendre un estimateur non biaisé comme automatiquement 'meilleur' : il faut aussi regarder la variance (compromis biais-variance).

Quel énoncé est vrai ?

Un estimateur non biaisé a forcément une petite variance.
Si \(E(X)=0\), alors \(X=0\) presque sûrement.
L'espérance d'une somme est la somme des espérances.

La propriété vraie est la linéarité de l'espérance : \(E(\sum X_i)=\sum E(X_i)\).

Récapitulatif

Espérance : moyenne pondérée des valeurs. Jeu équitable si l'espérance du gain net vaut zéro.
Variance : mesure de la dispersion ; pour la moyenne empirique elle décroit comme \(1/n\).
Estimateur non biaisé : espérance égale au paramètre ; mais vérifier aussi sa variance.

Cartes mémo

Espérance

\(E(X)=\sum x_i p_i\) (moyenne pondérée)

Variance

\(\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2\)

Jeu équitable

Condition : \(E(\text{gain})=0\)

Moyenne empirique

\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\), non biaisée, variance \(\sigma^2/n\)