Variables aléatoires réelles : Définition et loi de probabilité

1. Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience un nombre réel. Elle permet de modéliser des phénomènes aléatoires en leur assignant une valeur numérique.

2. Définition formelle

Soit \(\Omega\) l'espace des résultats d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire \(X\) est une application :

 X : \Omega 	o \mathbb{R} \end{code>


telle que pour tout réel \(x\), l'ensemble \(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\}\) soit un événement measurable.



3. Loi de probabilité d'une variable aléatoire
La loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\) décrit la distribution des valeurs que peut prendre \(X\). Elle est caractérisée par la fonction de vraisemblance :
 P(X = x) \quad 	ext{pour une variable discrète} \end{code>

ou par la fonction de densité :
f_X(x) = rac{d}{dx} \mathbb{P}(X \leq x) \quad 	ext{pour une variable continue} \end{code>


4. Exemple simple
Considérons le lancer d'un dé à six faces :

Les valeurs possibles : \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)
La variable aléatoire \(X\) : le résultat du lancer
La loi de probabilité :
\( \mathbb{P}(X = k) = rac{1}{6} \quad 	ext{pour } k=1,2,3,4,5,6 \)