Variables aléatoires réelles : Définition et loi de probabilité

1. Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre réel. Autrement dit, c'est une règle qui, pour chaque issue d'une expérience aléatoire, donne un nombre.

2. Exemples

• Lancer d’un dé : la variable aléatoire peut représenter le numéro obtenu, qui varie de 1 à 6.
• Le nombre de succès dans une séquence de tirages.

3. Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire décrit la manière dont les différents résultats sont répartis.

3.1. Définition

Une loi de probabilité associe à chaque valeur possible \( x \) de la variable une probabilité \( P(X=x) \), telle que :

• \( P(X=x) \geq 0 \) pour tout \( x \),
• la somme des probabilités sur toutes les valeurs possibles est égale à 1 : \[ \sum_{x} P(X=x) = 1 \].

3.2. Exemple d'une loi de probabilité

Considérons le lancer d’un dé équilibré à 6 faces. La variable \( X \) représentant le résultat a pour loi : \[ P(X=x) = rac{1}{6} \quad ext{pour} \quad x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. \]

4. Résumé

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe à chaque issue d'une expérience un nombre réel. La loi de probabilité définit la distribution de ces résultats, avec une probabilité pour chaque valeur possible, respectant les règles suivantes :

• Probabilités positives ou nulles
• Somme totale égale à 1