Variables aléatoires réelles — Définition et loi de probabilité

Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire ; sa loi indique comment se répartissent les probabilités.

Objectifs

Comprendre ce qu'est une variable aléatoire réelle.
Différencier loi de probabilité discrète et continue.
Savoir utiliser la fonction de répartition et la densité.
Calculer des probabilités simples et reconnaître les pièges courants.

Quel est l'objectif principal de la fonction de répartition \(F_X\) ?

Donner la densité en un point.
Donner la probabilité cumulative jusqu'à un point.
Donner la probabilité exacte d'une valeur pour une loi continue.

\(F_X(x)=P(X\\le x)\) est la probabilité cumulée jusqu'à \(x\).

Notions clés

Variable aléatoire réelle

Définition : une variable aléatoire réelle \(X\) est une application mesurable \(X:\\Omega\\to\\mathbb{R}\) qui associe à chaque issue \(\\omega\) un réel \(X(\\omega)\).

Loi de probabilité

La loi de probabilité décrit comment la probabilité se répartit sur les valeurs de \(X\).

Loi discrète

Si \(X\) prend des valeurs \(x_i\) avec des probabilités \(p_X(x_i)=P(X=x_i)\), alors :

\[ \sum_i p_X(x_i)=1 \]

Pour un événement \(A\) qui est un sous-ensemble de valeurs, on a :

\[ P(X\in A)=\sum_{x_i\in A} p_X(x_i) \]

Loi continue (densité)

Si \(X\) admet une densité \(f_X\), alors pour des réels \(a\\le b\) :

\[ P(a\\le X\\le b)=\int_a^b f_X(x)\\,dx \]

Et la densité vérifie :

\[ \int_{-\\infty}^{+\\infty} f_X(x)\\,dx=1 \]

La fonction de répartition \(F_X\) s'exprime :

\[ F_X(x)=P(X\\le x)=\int_{-\\infty}^x f_X(t)\\,dt \]

Si \(F_X\) est dérivable en \(x\), alors \(f_X(x)=F_X'(x)\).

Illustration : densité (en bleu) et fonction de répartition (en rouge).

Quelle affirmation est vraie ?

Pour une loi continue, \(P(X=0)=0\).
Pour une loi continue, \(f_X(0)\) est la probabilité que \(X=0\).
La somme des densités vaut 1.

Pour une loi continue toute probabilité d'un singleton est 0 ; la densité n'est pas une probabilité en un point.

Exemples résolus

Étape 1: On note \(X\) le résultat du dé. Les valeurs possibles sont \(1,2,3,4,5,6\).

Étape 2: Loi uniforme discrète : \(p_X(k)=\\tfrac{1}{6}\) pour \(k=1,\\dots,6\).

Étape 3: Probabilité d'obtenir un nombre pair : \[ P(X\\text{ pair})=P(X\\in\\{2,4,6\\})=\\sum_{k\\in\\{2,4,6\\}}\\tfrac{1}{6}=\\tfrac{3}{6}=\\tfrac{1}{2} \]

Variable uniforme Variable continue sur [0,1].

Voir la solution

Soit \(X\\sim\\mathcal{U}(0,1)\) de densité \(f(x)=1\) si \(0\\le x\\le1\), sinon 0.

Calcul de \(P(0.2\\le X\\le0.7)\) :

\[ P(0.2\\le X\\le0.7)=\int_{0.2}^{0.7} 1\\,dx=0.7-0.2=0.5 \]

Pour le dé équilibré, \(P(X\\in\\{1,3,5\\})\) vaut :

1
\(\\tfrac{1}{3}\)
\(\\tfrac{1}{2}\)

Les trois valeurs ont chacune probabilité \(1/6\), donc la somme est \(3/6=1/2\).

Erreurs fréquentes

Oublier que pour une loi continue \(P(X=a)=0\).
Ne pas vérifier le support de la loi (valeurs possibles de \(X\)).
Mélanger somme et intégrale selon que la loi est discrète ou continue.

Quelle est une erreur fréquente ?

Utiliser une intégrale pour une loi continue.
Vérifier le support de la variable.
Confondre densité et probabilité en un point.

Confondre densité et probabilité en un point est une erreur courante : \(f_X(a)\) n'implique pas \(P(X=a)\).

Récapitulatif

Variable aléatoire : application \(X:\\Omega\\to\\mathbb{R}\).
Loi discrète : probabilités sur valeurs ponctuelles, somme égale à 1.
Loi continue : densité \(f\) telle que \(P(a\\le X\\le b)=\int_a^b f\).
Fonction de répartition \(F_X(x)=P(X\\le x)\), lien densité/CDF quand dérivables.

Lequel est vrai pour toute variable réelle ?

Elle admet toujours une densité.
Elle admet toujours une fonction de répartition.
Pour toute valeur \(a\), \(P(X=a)>0\).

Toute variable réelle a une fonction de répartition \(F_X\) (cumulative), mais pas nécessairement une densité.

Variable aléatoire

Application \(X:\\Omega\\to\\mathbb{R}\) qui associe un réel à chaque issue.

Loi discrète

Probabilités \(p_X(x_i)=P(X=x_i)\) avec \(\\sum p_X=1\).

Loi continue

Densité \(f\) telle que \(P(a\\le X\\le b)=\int_a^b f\).

Fonction de répartition

\(F_X(x)=P(X\\le x)\), croissante, continue à droite.