Introduction

Les variables aléatoires réelles représentent des résultats imprévisibles mais dont on peut analyser la distribution à l’aide de plusieurs notions statistiques essentielles : l’espérance, la variance et l’écart type.

Espérance (ou moyenne)

L'espérance d’une variable aléatoire réelle, notée \( \mathbb{E}[X] \), est une mesure de la valeur moyenne pondérée par la probabilité.

Pour une variable discrète, si \( X \) prend les valeurs \( x_1, x_2, \dots, x_n \) avec des probabilités respectives \( p_1, p_2, \dots, p_n \), alors :

\[ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^n x_i imes p_i \]

Pour une variable continue avec une fonction de densité \( f(x) \), l’espérance est :

\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x imes f(x) \, dx \]

Variance

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance. Elle est notée \( \mathrm{Var}(X) \) ou \( \sigma^2 \).

Elle se calcule à partir de la formule :

\[ \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] \]

Explication : on prend la moyenne du carré des écarts à l’espérance.

Dans le cas discret :

\[ \mathrm{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i imes (x_i - \mathbb{E}[X])^2 \]

Écart type

L’écart type est la racine carrée de la variance, noté \( \sigma \).

\[ \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} \]

C’est une mesure de dispersion dans la même unité que la variable \( X \).

Résumé

• L’espérance donne la valeur moyenne attendue.
• La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne.
• L’écart type fournit une mesure de la dispersion exprimée dans la même unité que \( X \).