Variables aléatoires réelles

Introduction

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre réel. On s'intéresse à sa tendance centrale et à sa dispersion.

Espérance (ou Moyenne)

L'espérance d'une variable aléatoire discrète X est la somme de chaque valeur possible x_i multipliée par sa probabilité P(X = x_i) :

 E(X) = ∑ xi · P(X = xi)

Elle représente la valeur moyenne attendue si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Variance

La variance mesure la dispersion ou la variabilité de la variable autour de l'espérance :

 Var(X) = E[(X - E(X))²] = ∑ (xi - E(X))² · P(X = xi)

Elle indique à quel point les valeurs de la variable s'éloignent en moyenne de la moyenne.

Écart type

L'écart type est la racine carrée de la variance :

 σ = √Var(X)

Il est exprimé dans la même unité que la variable et donne une idée intuitive de la dispersion.

Résumé

• Espérance : moyenne attendue
• Variance : dispersion autour de l'espérance
• Écart type : mesure de dispersion dans la même unité