Le cours en une phrase : l'espérance donne le centre attendu, la variance et l'écart-type mesurent la dispersion autour de ce centre.
Espérance, variance et écart-type (niveau 1ère)
Objectifs
- Comprendre la signification d'espérance, variance et écart-type.
- Apprendre à les calculer pour une loi discrète simple.
- Utiliser les propriétés de linéarité et de changement d'échelle.
1. Espérance
Définition (discrète). Pour une variable aléatoire discrète \(X\) prenant les valeurs \(x_i\) avec probabilités \(p_i\) :
\(E(X) = \sum_i x_i p_i\)
Cas continu (si densité). \(E(X) = \int_{-\\infty}^{\\infty} x\,f_X(x)\,dx\).
Propriété (linéarité). Pour tout \(a,b\\in\\mathbb{R}\) : \(E(aX+b) = aE(X)+b\).
Si \(X\) prend 1 avec probabilité 0.5 et 3 avec probabilité 0.5, quelle est \(E(X)\) ?
- 1
- 2
- 3
Calcul : 0.5\times1 + 0.5\times3 = 2.
2. Variance
Définition. La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance :
\(\\operatorname{Var}(X) = E\big[(X - E(X))^2\big]\)
Formule souvent utilisée.
\[ \begin{align}
\\operatorname{Var}(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\\
&= \sum_i x_i^2 p_i - \Big(\sum_i x_i p_i\Big)^2
\end{align} \]
Écart-type. L'écart-type est la racine carrée de la variance :
\(\sigma(X) = \sqrt{\\operatorname{Var}(X)}\)
Propriété. Pour tout \(a,b\\in\\mathbb{R}\) : \(\\operatorname{Var}(aX+b) = a^2\\operatorname{Var}(X)\).
Histogramme d'un exemple discret : hauteurs proportionnelles aux probabilités. La ligne rouge indique la moyenne.
Si \(E(X)=1.1\) et \(E(X^2)=1.7\), que vaut \(\\operatorname{Var}(X)\) ?
- 0.49
- 0.6
- 1.1
Var = 1.7 - 1.1^2 = 1.7 - 1.21 = 0.49.
3. Exemple résolu
Voir la solution
Étape 1 : calculer \(E(X)\).
\[ E(X) = 0\\times0.2 + 1\\times0.5 + 2\\times0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1 \]
Étape 2 : calculer \(E(X^2)\).
\[ E(X^2) = 0^2\\times0.2 + 1^2\\times0.5 + 2^2\\times0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7 \]
Étape 3 : utiliser \(\\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2\).
\[ \\\operatorname{Var}(X) = 1.7 - (1.1)^2 = 1.7 - 1.21 = 0.49 \]
Étape 4 : écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{0.49}=0.7\).
Quel est l'écart-type calculé ci-dessus ?
- 0.49
- 1.7
- 0.7
L'écart-type est la racine carrée de la variance : \(\sqrt{0.49}=0.7\).
Erreurs fréquentes
- Confondre \(E(X^2)\) et \(E(X)^2\).
- Confondre variance (unités au carré) et écart-type (même unité que X).
- Pour \(Y=aX+b\), retenir que l'espérance change de façon affine et la variance par le carré de \(a\).
Récapitulatif
Formules clés
Espérance
Somme ou intégrale pondérée : \(E(X)\)
Variance
Moyenne des carrés des écarts : \(\\operatorname{Var}(X)\)
Écart-type
Racine de la variance : \(\sigma(X)\)
Linéarité
\(E(aX+b)=aE(X)+b\), \(\\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\\operatorname{Var}(X)\)
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