Variables aléatoires réelles : Espérance, Variance et Écart type

Introduction

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre réel. Elle permet de modéliser des phénomènes incertains.

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire \(X\), notée \(\mathbb{E}[X]\), ou parfois \(E(X)\), est une mesure de sa tendance centrale. Elle correspond à la moyenne théorique en répétant l'expérience un grand nombre de fois.

Formellement, si \(X\) est une variable à valeurs discrètes with une probabilité \(P(X = x_i)\), l'espérance est :

    \(\mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i 	imes P(X = x_i)\)

Pour une variable continue avec une densité \(f\), elle est donnée par :

    \(\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x 	imes f(x) \, dx\)

Variance

La variance d'une variable \(X\), notée \( ext{Var}(X)\), mesure la dispersion de ses valeurs autour de l'espérance.

Elle est définie par :

    \(	ext{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\)

On peut aussi exprimer la variance en utilisant la formule :

    \(	ext{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2\)

Écart type

L'écart type de la variable \(X\), noté \(\sigma_X\), est la racine carrée de la variance :

    \(\sigma_X = \sqrt{	ext{Var}(X)}\)

C'est une mesure de dispersion dans la même unité que \(X\).

Résumé

Quantité	Symbole	Définition
Espérance	\(\mathbb{E}[X]\)	Moyenne théorique de la variable
Variance	\( ext{Var}(X)\)	Dispersion autour de l'espérance
Écart type	\(\sigma_X\)	Racine carrée de la variance

Conclusion

Les notions d'espérance, variance et écart type sont fondamentales en probabilités pour analyser le comportement et la dispersion d'une variable aléatoire.