Variables aléatoires réelles : Simulations d’échantillons

Introduction

Les variables aléatoires réelles permettent de modéliser des phénomènes incertains. Pour mieux comprendre leur comportement, on peut réaliser des simulations d’échantillons à l’aide de Python ou d’un tableur.

Objectifs

• Générer des échantillons de variables aléatoires
• Observer la distribution empirique
• Comparer avec la loi théorique

Simulations avec Python

Exemple : Générer un échantillon d’une variable normale

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Génération d’un échantillon de taille 1000
echantillon = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)

# Affichage de l’histogramme
plt.hist(echantillon, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')

# Ajout de la courbe de la densité théorique
import scipy.stats as stats
x = np.linspace(-4, 4, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1), 'r')

plt.title('Échantillon d’une variable normale')
plt.xlabel('Valeurs')
plt.ylabel('Densité')
plt.show()

Ce code permet de générer un échantillon aléatoire selon une loi normale, puis de comparer la distribution empirique à la loi théorique.

Simulations avec un tableur (ex : Excel)

Procédé

• Générer des nombres aléatoires : en Excel, utiliser la fonction ALEA().
• Pour obtenir une variable normale, utiliser la formule NORM.INV(ALEA(); moyenne; écart-type).
• Répliquer la formule pour obtenir un échantillon de taille souhaitée.

Visualisation

• Créer un histogramme via l’option d’insertion.
• Comparer la courbe empirique avec la loi normale (via la courbe de densité si disponible ou graphiquement).

Conclusion

Les simulations sont un outil incontournable pour visualiser et comprendre les propriétés des variables aléatoires. Python offre une grande flexibilité, tandis que le tableur permet une approche plus simple et accessible.