Mouvement d’un système : variation du vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d’un objet ne change que si des forces non compensées agissent sur lui, et il change dans le sens de ces forces : \(m\,\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \approx \sum \vec{F}\).

Objectifs

Rappeler la définition du vecteur vitesse d’un point à partir d’une chronophotographie.
Construire le vecteur variation de vitesse \(\Delta \vec{v}\) entre deux instants voisins.
Utiliser la relation approchée \(m\,\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \approx \sum \vec{F}\) pour relier forces et variation de vitesse.
Comprendre le rôle de la masse : plus un objet est lourd, plus il est difficile de changer sa vitesse.

1. Rappel : le vecteur vitesse

On modélise le système par un point matériel \(M\). Sur une chronophotographie, les positions \(M_0, M_1, M_2, \dots\) sont prises à intervalles de temps égaux \(\Delta t\). Le vecteur vitesse au point \(M_i\) est approché par :

\[\vec{v}_i \approx \frac{\overrightarrow{M_i M_{i+1}}}{\Delta t}\]

direction : tangente à la trajectoire ;
sens : celui du mouvement ;
valeur : \(v_i \approx \frac{M_i M_{i+1}}{\Delta t}\), en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Sur une chronophotographie, deux positions successives d’un ballon sont séparées de \(12\ \text{cm}\) et \(\Delta t = 40\ \text{ms}\). La valeur de la vitesse est environ :

\(0{,}3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)
\(3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)
\(30\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)

\(v \approx \frac{0{,}12\ \text{m}}{0{,}040\ \text{s}} = 3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Attention à convertir les cm en m et les ms en s.

2. Le vecteur variation de vitesse

Entre deux instants voisins \(t\) et \(t + \Delta t\), la variation du vecteur vitesse est :

\[\Delta \vec{v} = \vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)\]

Pour la construire, on reporte les deux vecteurs vitesse à partir d’un même point ; \(\Delta \vec{v}\) va de l’extrémité de \(\vec{v}_1\) à l’extrémité de \(\vec{v}_2\).

On trace \(\vec{v}_1\) en \(M_1\) et \(\vec{v}_2\) en \(M_2\), tangents à la trajectoire et de même valeur ici.

On reporte \(\vec{v}_2\) à partir de \(M_1\), sans changer sa direction, son sens ni sa longueur.

\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1\) va de l’extrémité de \(\vec{v}_1\) à celle de \(\vec{v}_2\) : il est orienté vers l’intérieur du virage.

Une moto roule sur une piste circulaire à vitesse de valeur constante \(10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Le vecteur \(\Delta \vec{v}\) entre deux instants voisins est :

nul, car la valeur de la vitesse ne change pas
orienté vers l’extérieur du cercle
non nul et orienté vers le centre du cercle

La direction du vecteur vitesse change à chaque instant, donc \(\Delta \vec{v} \neq \vec{0}\) ; la construction montre qu’il pointe vers l’intérieur du virage, c’est-à-dire vers le centre.

3. Forces et variation de vitesse

a) Le principe d’inertie (rappel)

Si les forces qui s’exercent sur le système se compensent (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)), son vecteur vitesse ne varie pas : il est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Réciproquement, si \(\vec{v}\) varie, alors \(\sum \vec{F} \neq \vec{0}\).

b) La relation approchée

Pour un système de masse \(m\) constante, modélisé par un point, entre deux instants voisins séparés de \(\Delta t\) :

\[m\,\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \approx \sum \vec{F}\]

\(\Delta \vec{v}\) et \(\sum \vec{F}\) ont même direction et même sens ;
pour une même force, \(\Delta v\) est d’autant plus petit que \(m\) est grande ;
\(\Delta v\) est d’autant plus grand que la force agit longtemps (\(\Delta t\) grand).

Unités : \(m\) en kg, \(\Delta v\) en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), \(\Delta t\) en s, \(F\) en N.

Manipule le graphique : il donne la valeur de la vitesse \(v(t) = v_0 + \frac{F}{m}t\) d’un objet poussé en ligne droite par une force constante \(F\) dans le sens du mouvement (ou freiné si \(F < 0\)). Augmente \(m\) : la droite devient moins pentue.

flowchart LR
A[Somme des forces nulle] --> B[Vitesse constante]
C[Somme des forces non nulle] --> D[Vitesse qui varie]
D --> E[Delta v dans le sens de la somme des forces]

Un ballon est en l’air après un tir ; on néglige l’action de l’air. Quelle est la direction de \(\Delta \vec{v}\) entre deux instants voisins ?

Verticale, vers le bas
Tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement
Horizontale, dans le sens du tir

La seule force est le poids, vertical et vers le bas ; \(\Delta \vec{v}\) a la même direction et le même sens que \(\sum \vec{F} = \vec{P}\).

4. Exemples résolus

Exemple 1 : le freinage d’un taxi-moto à Lomé

Un taxi-moto et son passager (masse totale \(m = 150\ \text{kg}\)) roulent en ligne droite. En \(\Delta t = 2{,}0\ \text{s}\), leur vitesse passe de \(12\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) à \(8{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Détermine la somme des forces (supposée constante). Cherche d’abord.

Variation de vitesse : \(\Delta v = 8{,}0 - 12 = -4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Le signe moins indique que \(\Delta \vec{v}\) est de sens opposé au mouvement.

Relation approchée : \(\sum F \approx m\,\frac{\Delta v}{\Delta t} = 150 \times \frac{-4{,}0}{2{,}0}\).

Calcul : \(\sum F \approx -300\ \text{N}\).

Conclusion : la somme des forces vaut environ \(300\ \text{N}\), dans la direction du mouvement mais de sens opposé (c’est l’effet des freins et des frottements).

Exemple 2 : le ballon qui tombe

Un ballon de masse \(m = 0{,}45\ \text{kg}\) est en chute ; on néglige l’air et on prend \(g = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}\). Calcule la variation de vitesse \(\Delta v\) pendant \(\Delta t = 0{,}10\ \text{s}\).

Voir la solution

La seule force est le poids : \(P = mg = 0{,}45 \times 9{,}8 \approx 4{,}4\ \text{N}\), vertical vers le bas.

\begin{align} \Delta v &\approx \frac{P\,\Delta t}{m} = \frac{m g\,\Delta t}{m} = g\,\Delta t\\ &= 9{,}8 \times 0{,}10 = 0{,}98\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \end{align}

\(\Delta \vec{v}\) est vertical, vers le bas, de valeur environ \(0{,}98\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). On remarque que le résultat ne dépend pas de la masse.

On applique la même force pendant la même durée à une moto de \(100\ \text{kg}\) et à un camion de \(10\,000\ \text{kg}\). La variation de vitesse du camion est :

la même que celle de la moto
100 fois plus petite
100 fois plus grande

\(\Delta v \approx \frac{F\,\Delta t}{m}\) : la masse étant 100 fois plus grande, \(\Delta v\) est 100 fois plus petit.

Erreurs fréquentes

Croire qu’une vitesse de valeur constante implique \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) : c’est faux dans un virage.
Reporter \(\vec{v}_2\) en changeant sa longueur ou sa direction : il faut le translater exactement.
Oublier de convertir en unités du système international (cm, ms, g).

Récapitulatif

\(\vec{v}_i \approx \frac{\overrightarrow{M_i M_{i+1}}}{\Delta t}\), tangent à la trajectoire.
\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1\) se construit en reportant les vecteurs à partir d’un même point.
\(m\,\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \approx \sum \vec{F}\) : \(\Delta \vec{v}\) a le sens de la somme des forces ; une grande masse limite la variation de vitesse.

Vecteur vitesse

Tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement, valeur ≈ MᵢMᵢ₊₁ / Δt.

Δv

Différence v₂ − v₁ des vecteurs vitesse, tracée à partir d’un même point.

Principe d’inertie

Forces compensées ⇔ vecteur vitesse constant (repos ou mouvement rectiligne uniforme).

Relation approchée

m · Δv / Δt ≈ somme des forces, même direction et même sens.

Rôle de la masse

Pour une même force, plus m est grande, plus Δv est petit.