Variation et courbes représentatives de fonctions

Introduction

Ce cours porte sur l'étude des variations des fonctions. Imaginez la fonction comme une route : elle peut monter, descendre ou rester plate. Étudier ses variations, c'est analyser ces montées et descentes pour mieux comprendre sa trajectoire.

Les notions de base

• Fonction croissante : La courbe monte lorsque vous allez vers la droite. Exemple : si vous parcourez une pente qui monte.
• Fonction décroissante : La courbe descend lorsque vous allez vers la droite. Exemple : une pente qui descend.
• Point stationnaire : Un point où la courbe change de direction, c'est-à-dire un sommet ou un creux.

Étude des variations

Calcul de la dérivée

La dérivée \(f'(x)\) de la fonction \(f(x)\) donne la pente de la tangente à la courbe en un point. Si :

• elle est positive (\(f'(x) > 0\)), alors \(f\) est croissante à cet endroit.
• elle est négative (\(f'(x) < 0\)), alors \(f\) est décroissante.
• elle s’annule (\(f'(x) = 0\)), alors il peut y avoir un maximum, un minimum ou un point d’inflexion.

Les intervalles de variation

On détermine ces intervalles en étudiant le signe de \(f'(x)\) :

• Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante là-dessus.
• Si \(f'(x) < 0\), alors \(f\) est décroissante.

Exemple

Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 2\).

Sa dérivée : \[f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)\].

Les signes de \(f'(x)\) :

• Pour \(x < -1\), \(f'(x) > 0\) : la fonction est croissante.
• Pour \(-1 < x < 1\), \(f'(x) < 0\) : la fonction est décroissante.
• Pour \(x > 1\), \(f'(x) > 0\) : la fonction est croissante.

Conclusion

Étudier les variations d'une fonction permet d'en comprendre la forme de la courbe et d'identifier ses points importants (maxima, minima, points d'inflexion). C’est une étape essentielle pour tracer la courbe représentative.