Étude des variations d'une fonction

Objectifs

• Déterminer où une fonction est croissante ou décroissante
• Comprendre la forme de la courbe représentative

Étapes pour étudier les variations

1. Calculer la dérivée \(f'(x)\)
2. Étudier le signe de la dérivée sur les intervalles de définition
   • Si \(f'(x) > 0\), alors \(f\) est croissante
   • Si \(f'(x) < 0\), alors \(f\) est décroissante
3. Repérer les points critiques où \(f'(x) = 0\) ou \(f'(x)\) n'existe pas
4. Étudier le signe de la dérivée dans chaque intervalle délimité par ces points critiques
   • Permet de déduire les intervalles de croissance/décroissance

Exemple

Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

1. On calcule la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)\)
2. Les points critiques sont obtenus en résolvant \(f'(x) = 0\) : \[ 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) :
   • Pour \(x < -1\), \(x^2 - 1 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\) (croissante)
   • Pour \(-1 < x < 1\), \(x^2 - 1 < 0 \Rightarrow f'(x) < 0\) (décroissante)
   • Pour \(x > 1\), \(x^2 - 1 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\) (croissante)
4. Conclusion :
   • La fonction est croissante sur \((-\infty, -1)\) et \((1, +\infty)\)
   • La fonction est décroissante sur \((-1, 1)\)

Bilan

Étudier les variations permet de tracer plus précisément la courbe représentative de la fonction en repérant ses extrema et ses points d'inflexion.