Objectif

Déterminer où une fonction est croissante ou décroissante pour mieux comprendre la forme de sa courbe représentative.

Étapes de l'étude

1. Calcul de la dérivée : Trouver \(f'(x)\), la dérivée de la fonction \(f(x)\).
2. Étude du signe de la dérivée : Déterminer où \(f'(x) \gt 0\), \(f'(x) = 0\) ou \(f'(x) \lt 0\).
3. Définir les intervalles : Sur quels intervalles \(f\) est-elle croissante ou décroissante ?
4. Attendre les points critiques : Les valeurs de \(x\) où \(f'(x) = 0\) ou \(f'\) est indéfini, pouvant correspondre à des extrêmes locaux.

Exemple illustratif

Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

1. Calculons la dérivée : \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
2. Étudions le signe de \(f'(x)\) : \[ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]
3. On construit le tableau de signes :
   • Pour \(x < -1\), par exemple \(x = -2\) : \[f'(-2) = 3 imes 4 - 3 = 12 - 3 = 9 \gt 0\], donc \(f\) est croissante.
   • Pour \(-1 < x < 1\), par exemple \(x=0\) : \[f'(0) = -3 \lt 0\], donc \(f\) est décroissante.
   • Pour \(x > 1\), par exemple \(x=2\) : \[f'(2) = 3 imes 4 - 3 = 12 - 3= 9 \gt 0\], donc \(f\) est croissante.
4. Conclusion : egin{itemize}
5. La fonction est croissante sur \((-\infty, -1)\) et \((1, +\infty)\).
6. Elle est décroissante sur \((-1, 1)\).
7. Les points critiques sont \(x=-1\) et \(x=1\).

Résumé

L'étude des variations permet de tracer la courbe représentative en identifiant ses intervalles de croissance et de décroissance, et en repérant ses extrema locaux.