Introduction

Une fonction \(f\) associée à une courbe appelée courbe représentative, permet d'étudier son comportement graphique en fonction de ses variations. Cela facilite la compréhension de ses maxima, minima et autres caractéristiques importantes.

1. La représentation graphique d'une fonction

C'est le graphique de \(f\), tracé dans un repère \(\left(O; ec{i}, ec{j} ight)\), où chaque point \(M(x, y)\) vérifie \(y = f(x)\).

2. Les variations d'une fonction

• Croissance : la courbe monte lorsque \(f'(x) > 0\).
• Décroissance : la courbe descend lorsque \(f'(x) < 0\).

Les points où la dérivée \(f'(x)\) change de signe indiquent des points critiques (maximums ou minimums locaux).

3. Les extrema locaux

Un maximum local en \(x=a\) si \(f(a) \geq f(x)\) pour \(x\) voisin de \(a\).

Un minimum local en \(x=b\) si \(f(b) \leq f(x)\) pour \(x\) voisin de \(b\).

Ils correspondent souvent aux points où la courbe change de tendance, c'est-à-dire lorsque la dérivée s’annule et change de signe.

4. Étude graphique

Pour tracer la courbe représentative :

• Calculer la dérivée \(f'(x)\).
• Étudier son signe pour identifier les intervalles de croissance ou décroissance.
• Déterminer les points critiques (où \(f'(x) = 0\) ou \(f'\) n'existe pas).
• Repérer les extrema (maxima ou minima locaux).
• Tracer la courbe en respectant ces informations.