Variations et extremums — Croissance, décroissance et extremum sur un intervalle

Le cours explique comment déterminer les périodes de croissance et de décroissance d'une fonction sur un intervalle et comment repérer les extremums à partir de la dérivée.

Objectifs

Comprendre ce que signifie croître ou décroître sur un intervalle et savoir le caractériser par le signe de la dérivée.
Savoir localiser les extremums en utilisant les points critiques et les valeurs aux extrémités de l'intervalle.
Appliquer ces notions à des exemples simples et interpréter le résultat dans des situations concrètes.

Notions clés

Exemple résolu

Considérons \(f(x) = -x^2 + 4x\) sur l'intervalle \([0,4]\).

Calculs détaillés :

\[ \begin{align} f'(x) &= -2x + 4 \\\\ f'(x) = 0 &\Rightarrow x = 2 \\\\ f(0) = 0,\quad f(2) = 4,\quad f(4) = 0 \\\\ croître sur [0,2], \quad décroître sur [2,4], \quad maximum f(2) = 4 \end{align} \]

Calculs détaillés

Détermination de l'intervalle de croissance et de décroissance et identification de l'extremum pour \(f(x) = -x^2 + 4x\) sur \([0,4]\).

\[ \begin{align} f'(x) &= -2x + 4 \\\\ f'(x) > 0 &\Rightarrow x < 2 \text{ (croissance)}, \\\\ f'(x) < 0 &\Rightarrow x > 2 \text{ (décroissance)} \\\\ \text{Extremum: } f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2, \quad f(2) = 4 \\\\ \text{Conclusion : } f \text{ croît sur } [0,2], \text{ décroît sur } [2,4], \text{ maximum } f(2)=4 \end{align} \]

Solution à découvrir

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\[ \begin{align} f(x) &= -x^2 + 4x \\\\ f'(x) &= -2x + 4 \\\\ f'(x)=0 &\Rightarrow x = 2 \\\\ f(0) &= 0,\ f(2)=4,\ f(4)=0 \\\\ \text{Conclusion: croissance sur } [0,2], \text{ décroissance sur } [2,4], \text{ maximum } f(2)=4 \end{align} \]

Étape 1: Écriture de \(f\) et calcul de \(f'(x)\).

Étape 2: Résolution \(f'(x)=0\) pour trouver les points critiques.

Étape 3: Évaluation des valeurs de \(f\) en \(0\), \(2\) et \(4\) et conclusion sur la croissance/décroissance et l'extremum.

Mini-quiz

Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle donné, alors ?

La fonction est décroissante
La fonction est croissante
La fonction est constante

Réponse: 2. Quand \(f'(x) > 0\), \(f\) est croissante sur l'intervalle.

Cartes mémo

Croissance

\(f'(x) > 0\) ⇒ \(f\) est croissante sur l'intervalle

Décroissance

\(f'(x) < 0\) ⇒ \(f\) est décroissante

Extremum

Points critiques: \(f'(x)=0\) ou non défini; comparer \(f\) en ces points et aux extrémités

Schéma illustratif

Récapitulatif

Croissance sur un intervalle: \(f'(x) \ge 0\) ; croissance stricte si \(f'(x) > 0\) partout.
Décroissance: \(f'(x) \le 0\); décroissance stricte si \(f'(x) < 0\).
Extremum local: point critique où \(f'(x)=0\) ou \(f'\) indéfinie; extrémités de l'intervalle à tester; valeur maximale/minimale trouvée en comparant \(f\) en ces points.