Variations et extremums : croissance, décroissance, extremum sur un intervalle

Introduction

En mathématiques, étudier comment une fonction varie permet de repérer ses extrema (maximums ou minimums) et de comprendre son comportement. Cela inclut les notions de croissance, décroissance, et extremums sur un intervalle donné.

1. Notions de croissance et décroissance

Fonction croissante

Une fonction \(f\) est dite croissante sur un intervalle si, pour tous \(x_1\) et \(x_2\) dans cet intervalle, si \(x_1 < x_2\), alors :

• \(f(x_1) \leq f(x_2)\)

Fonction décroissante

Une fonction \(f\) est décroissante sur un intervalle si, pour tous \(x_1\) et \(x_2\) dans cet intervalle, si \(x_1 < x_2\), alors :

• \(f(x_1) \geq f(x_2)\)

2. Critères de croissance et décroissance

La dérivée

La croissance ou décroissance d'une fonction se caractérise par sa dérivée :

• Si \(f'\(x\) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est croissante sur cet intervalle.
• Si \(f'\(x\) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est décroissante sur cet intervalle.

3. Identification des extremums

Les points stationnaires

Ce sont les points où la dérivée s'annule ou n'existe pas :

• Si \(f'\(x\) = 0\), on parle de point critique.

Les extremums locaux

Un point critique peut être un maximum ou un minimum local :

• Maximum local: la fonction atteint un pic, autour du point, la valeur est supérieure aux valeurs proches.
• Minimum local: la fonction atteint un creux, la valeur est inférieure aux valeurs proches.

4. Méthode pour repérer un extremum

1. Calculer \(f'\(x\)\).
2. Trouver les points où \(f'\(x\) = 0\) (points critiques).
3. Étudier le signe de \(f'\(x\)\) autour de ces points pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum :
• Si \(f'\(x\) change de \(\) '+' à '-' \(\) en passant par le point, c'est un maximum.
• Si \(f'\(x\) change de \(\) '-' à '+' \(\), c'est un minimum.

5. Exemple

Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

• Calculons la dérivée : \(f'\(x\) = 3x^2 - 3\).
• Points critiques : \(f'\(x\) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).
• Étudions le signe de \(f'\(x\)\) :
• Pour \(x < -1\), \(f'\(x\) > 0\) et la fonction est croissante.
• Pour \(-1 < x < 1\), \(f'\(x\) < 0\) et la fonction est décroissante.
• Pour \(x > 1\), \(f'\(x\) > 0\) et la fonction est croissante.
• Conclusion :
• Maximum en \(-1\)
• Minimum en \(+1\)

Conclusion

En résumé, la détermination des zones de croissance et décroissance repose sur l'étude de la dérivée. Les points critiques sont essentiels pour repérer les extremums locaux. Ces outils permettent d'analyser et de comprendre le comportement d'une fonction sur un intervalle.