Introduction

En mathématiques, l'étude des variations d'une fonction permet de déterminer où elle augmente, diminue ou possède un extremum (maximum ou minimum). Cela est essentiel pour analyser le comportement d'une fonction sur un intervalle.

1. La croissance et la décroissance d'une fonction

Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle \([a, b]\).

• extbf{Croissance} : La fonction \(f\) est croissante sur \([a, b]\) si pour tous \(x_1, x_2 \in [a, b]\), with \(x_1 < x_2\), on a :
• \(f(x_1) \leq f(x_2)\)
• En termes de dérivée : si \(f\) est dérivable, alors \(f'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [a, b]\).
• extbf{Décroissance} : La fonction \(f\) est décroissante sur \([a, b]\) si pour tous \(x_1, x_2 \in [a, b]\), avec \(x_1 < x_2\), on a :
• \(f(x_1) \geq f(x_2)\)
• En termes de dérivée : si \(f'\)(x) \leq 0\) pour tout \(x \in [a, b]\).

2. La recherche des extremums

Un extremum (maximum ou minimum) correspond à un point où la fonction change de tendance.

• Extremum local : un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum local.
• Extremum global : le maximum ou minimum sur tout l'intervalle.

Critère de recherche des extremums :

Pour une fonction dérivable, les extremums apparaissent souvent aux points où la dérivée s'annule ou n'existe pas, situés généralement autour de changements de signe de \(f'\).

Pour déterminer les extremums :

1. Calculer la dérivée \(f'\).
2. Résoudre l'équation \(f'(x) = 0\) pour trouver les points candidats appelés points critiques.
3. Étudier le comportement de \(f'\) autour de ces points pour confirmer si ce sont des maximums ou minimums.

Exemple :

Considérons la fonction \(f(x) = -x^2 + 4x - 1\).

• Calculons \(f'(x) = -2x + 4\).
• Équation critique : \(-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2\).
• Étude du signe de \(f'\) :
  • Pour \(x < 2\), \(f'(x) > 0\) (croissance).
  • Pour \(x > 2\), \(f'(x) < 0\) (décroissance).

Ainsi, \(x = 2\) correspond à un maximum local.

3. Résumé

• Une fonction est croissante si \(f'\geq 0\), décroissante si \(f'\leq 0\).
• Les extremums se trouvent aux points critiques où \(f' = 0\) ou \(f'\) n'existe pas, en analysant le changement de signe de \(f'\).