Variations et extremums - 2nde

Variations et extremums

Niveau 2nde - Thème: Croissance, décroissance, extremum sur un intervalle

1. Définitions essentielles

Fonction croissante sur un intervalle I : pour tous x1, x2 dans I tels que x1 < x2, on a f(x1) ≤ f(x2). Si inégalité stricte f(x1) < f(x2) pour x1 < x2 on dit strictement croissante.

Fonction décroissante sur I : pour tous x1 < x2 dans I, f(x1) > = f(x2). Strictement décroissante si f(x1) > f(x2).

Extremum :

Maximum sur I : valeur f(a) telle que pour tout x de I, f(x) ≤ f(a).
Minimum sur I : valeur f(b) telle que pour tout x de I, f(x) ≥ f(b).

On distingue extremum global (sur tout l'intervalle) et extremum local (voisinage d'un point).

2. Tests de monotonicité

Methode 1 (directe) : comparer les valeurs. Pour prouver que f est croissante sur I, montrer que pour tout x1 < x2 dans I, f(x1) ≤ f(x2). C'est souvent possible si on peut factoriser f(x2)-f(x1) et trouver son signe.

Methode 2 (avec la dérivée) : si f est dérivable sur I et si f'(x) >= 0 pour tout x dans I (strictement >0 pour croissante stricte), alors f est croissante sur I. Si f'(x) <= 0 sur I alors f est décroissante.

Remarque : l'existence de la dérivée n'est pas toujours exigée en seconde, mais c'est un outil pratique pour tester le signe des variations.

3. Recherche d'extrémums sur un intervalle fermé [a,b]

Si la fonction est monotone sur [a,b], l'extrémum global se situe aux extrémités :
- si croissante sur [a,b] : minimum = f(a), maximum = f(b).
- si décroissante : maximum = f(a), minimum = f(b).
Si la fonction n'est pas monotone, chercher les points critiques (points où f' = 0 ou f' n'existe pas) à l'intérieur de ]a,b[, puis comparer les valeurs f(a), f(b) et f aux points critiques pour déterminer maximum et minimum.

4. Exemples

Exemple 1 : f(x)=3x-2 sur R. C'est une fonction affine de pente 3 > 0 donc strictement croissante sur R. Sur un intervalle [a,b] on a minimum f(a)=3a-2 et maximum f(b)=3b-2.

Exemple 2 : f(x)=x^2 sur [-1,2].

Calcul : f'(x)=2x. Le signe de f' : négatif si x<0, nul si x=0, positif si x>0.
Donc f décroît sur [-1,0] puis croît sur [0,2].
Extremums sur [-1,2] : minimum en x=0 avec f(0)=0. Les valeurs aux extrémités : f(-1)=1, f(2)=4. Ainsi maximum = 4 atteint en x=2.

5. Procédure pratique (résumé)

Préciser l'intervalle I où on étudie les variations.
Si possible, calculer f'(x) et étudier son signe sur I. Sinon, utiliser la définition (comparer f(x1) et f(x2)).
Déduire les intervalles de croissance et de décroissance.
Pour trouver les extremums sur un intervalle fermé [a,b] : comparer f(a), f(b) et les valeurs aux points critiques intérieurs.

6. Exercices courts (avec réponses)

Exercice 1 : Etudier les variations de f(x)= -2x+5 sur R. Trouver extremums sur [0,3].

Correction : pente -2 < 0 donc f est strictement décroissante sur R. Sur [0,3] : maximum f(0)=5, minimum f(3)= -1.

Exercice 2 : g(x)=x^3 sur [-1,2]. Etudier les variations et donner extremums.

Correction : g'(x)=3x^2 >=0 et =0 seulement en x=0, mais g' >=0 partout donc g est croissante sur R. Sur [-1,2] minimum g(-1)=-1, maximum g(2)=8.

7. Rappels et conseils

Pour convaincre, il faut toujours justifier le signe de f' ou comparer f(x1) et f(x2).
Ne pas oublier les bornes de l'intervalle : sur un intervalle fermé, les extrémités peuvent fournir les extremums.
Une fonction monotone stricte est injective (utile pour résoudre des équations).