Variations et extremums — Niveau 2nde
Comprendre comment repérer quand une fonction augmente, décroît et où elle atteint un extremum.
Variations et extrémums (2nde)
Objectifs
- Définir croissance et décroissance sur un intervalle.
- Repérer un maximum ou un minimum (local et global).
- Utiliser des méthodes simples (comparaison, factorisation, complément du carré, dérivée si connue).
Notions clés
Définitions
Croissance : une fonction \(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x,y\in I\) tels que \(x Décroissance : \(f\) est décroissante sur \(I\) si pour tous \(x Si \(x
Extremums
Maximum local : \(f(a)\) est un maximum local si existe un intervalle autour de \(a\) tel que pour tout \(x\) dans cet intervalle \(f(x)\le f(a)\). Même idée pour minimum local (avec \(\ge\)).
Maximum/minimum global : les inégalités valent pour tout \(x\) de l'ensemble considéré.
Un maximum global est-il toujours un maximum local ?
Exemples résolus
Voir la solution (complément du carré)
Calculons en complétant le carré :
\(f(x)=-x^{2}+2x+3=-(x^{2}-2x)-3+3\) (on réécrit pour compléter)
On obtient \(f(x)=-(x^{2}-2x-4)= -\\bigl((x-1)^{2}-1\\bigr)+3\)
Plus proprement :
\(f(x)=-(x^{2}-2x)+3= -\\bigl((x-1)^{2}-1\\bigr)+3= - (x-1)^{2}+4\).
Donc \(f(x)\le 4\) pour tout \(x\) et \(f(1)=4\). Le maximum global est \(4\) atteint en \(x=1\).
Pour \(f(x)=-x^{2}+2x+3\), quelle est la valeur maximale sur \(\\mathbb{R}\) ?
Erreurs fréquentes
Vérifiez la définition ou utilisez une méthode algébrique : comparer \(f(y)-f(x)\) ou utiliser la dérivée si elle est connue.
Tester \(f\) sur trois points équivaut-il à prouver sa croissance sur tout \(\\mathbb{R}\) ?
Récapitulatif
- Croissance/décroissance = relation entre abscisses et images : \(x
- Extremum local vs global : attention aux bords.
- Méthodes : comparaison directe, factorisation/complement du carré, dérivée si vue en classe.
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