Variations et extremums : Tableau de variations et étude graphique

Introduction

En classe de 2nde, l'étude du comportement d'une fonction permet de comprendre sa croissance ou décroissance, ainsi que ses points locaux d'extrême. Le tableau de variations est un outil clé pour cela.

1. Étude des variations d'une fonction

• On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle.
• On calcule la dérivée \(f'\) pour étudier le sens de variation.
• Signes de \(f'\) :
  • \(f'>0\) : la fonction est croissante
  • \(f'<0\) : la fonction est décroissante

2. Calcul du tableau de variations

Le tableau de variations s'établit en suivant ces étapes :

1. Étudier le signe de \(f'\) sur chaque sous-intervalle.
2. Repérer les points où \(f'\) change de signe : ces points correspondent aux extrema locaux.
3. Numéroter les points critiques et les valeurs en eux pour remplir le tableau.

Exemple :

Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

Étape 1 : dérivée \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)\)

Étape 2 : Zéros de \(f'\) : \(x = -1\) et \(x=1\)

Étape 3 : Analyse du signe :

• Pour \(x < -1\), \(f'(x) > 0\) (croissante)
• Pour \(-1 < x < 1\), \(f'(x) < 0\) (décroissante)
• Pour \(x > 1\), \(f'(x) > 0\) (croissante)

3. Représentation graphique

Le tableau de variations permet de tracer le graphique de la fonction :

• Les points critiques \((-1, f(-1))\) et \((1, f(1))\) indiquent les extrema locaux.
• La croissance ou décroissance est illustrée par la pente de la courbe.

Conclusion

Le tableau de variations est un outil essentiel pour analyser le comportement d'une fonction. Il facilite la réalisation du graphique et la recherche d'extremums locaux.