Variations et extremums : Tableau de variations et étude graphique

Introduction

Ce cours porte sur l'étude des fonctions en se basant sur leur comportement de croissance ou décroissance, la localisation des extremums (maximum ou minimum) et la représentation graphique.

1. Étude du signe de la dérivée

Pour analyser le comportement d'une fonction \(f\), on calcule sa dérivée \(f'(x)\):

• si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est croissante sur cet intervalle.
• si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est décroissante sur cet intervalle.

2. Tableau de variations

Le tableau de variations permet de résumer le comportement de \(f\) sur un intervalle.

Construction :

1. Calculer \(f'(x)\) et déterminer ses_zéros (points où \(f'(x)=0\)).
2. Analyser le signe de \(f'(x)\) autour de ces points.
3. Tracer le tableau :

Intervalle | Signe de \(f'(x)\) | Variation
-------------------------------------------------
\[a; b\] | \(+\) | Croissante
\[b; c\] | \(-\) | Décroissante
\[c; d\] | \(+\) | Croissante

3. Étude de la courbe

Une fois le tableau établi, on peut tracer la courbe de la fonction :

• Maxima locaux : points où la dérivée change de positif à négatif.
• Minima locaux : points où la dérivée change de négatif à positif.

4. Exemple illustratif

Fonction : \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)

Étapes :

1. Calcul de \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\).
2. Résolution : \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\)
3. Solutions : \(x=1\) et \(x=3\).
4. Signe de \(f'(x)\) :
   • Pour \(x<1\), \(f'(x)>0\), croissante.
   • Entre \(1\) et \(3\), \(f'(x)<0\), décroissante.
   • Après \(3\), \(f'(x)>0\), croissante.
5. Donc, il y a un maximum en \(x=1\) et un minimum en \(x=3\).

Ce procédé permet de tracer la courbe et de comprendre le comportement de la fonction.

Conclusion

L'étude des variations d'une fonction à l'aide de son tableau de variations permet de repérer ses extremums et de réaliser une étude graphique précise.