Variations et extremums — visualiser avec des logiciels ou Python
Voir et manipuler un graphe aide à repérer où une fonction augmente, diminue et atteint ses extremums.
Variations et extremums — comment simuler et tracer (niveau 2nde)
Objectif : apprendre à identifier les variations (croissance / décroissance) et les extremums (minimum / maximum) d'une fonction à l'aide d'un tracé, d'une simulation ou d'un calcul simple.
Objectifs
- Comprendre ce que signifient « croissante » et « décroissante » pour une fonction.
- Identifier un minimum ou un maximum sur un graphe.
- Utiliser un logiciel (ou Python) pour tracer une fonction, ajuster des paramètres et vérifier les extremums.
Notions clés
1. Fonction croissante / décroissante
Définition (intuitive) : sur un intervalle, une fonction est croissante si quand \(x\) augmente, \(f(x)\) n'augmente jamais moins ; elle est décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente.
Sur un graphe, croissante = courbe qui monte (de gauche à droite), décroissante = courbe qui descend.
Si \(g(x)=-3x+4\), quelle est sa variation ?
2. Extremum (minimum / maximum)
Un minimum est un point où la valeur de la fonction est la plus petite (localement ou globalement). Un maximum est un point où elle est la plus grande.
Pour une parabole de la forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a>0\), la parabole est ouverte vers le haut et elle a un minimum au sommet ; si \(a<0\) elle a un maximum.
La fonction \(h(x)=-(x-1)^2+5\) a :
3. Visualiser avec un tracé (outil ou Python)
Tracer la courbe permet de repérer visuellement les intervalles de croissance/décroissance et l'emplacement des extremums. On peut ensuite confirmer par calcul.
Pour une parabole \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a>0\), que se passe-t-il quand on augmente ")+a+" (valeur absolue de a) en gardant b et c fixes ?
Exemples résolus
Exemple 1 — Trouver le minimum de \(f(x)=x^2-4x+3\)
Essaye d'abord toi‑même : repère le sommet sur le graphe, puis tente de transformer l'expression.
Voir la solution
Vérification par tracé : tu peux tracer \(f(x)=x^2-4x+3\) et repérer le sommet. Utilise le graphique interactif ci‑dessous pour déplacer les coefficients.
Exemple 2 — Utiliser Python pour tracer et estimer un extremum
Code (exécuter dans un notebook ou un script) :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-5, 5, 400)
f = x**2 - 4*x + 3
plt.axhline(0,color='k',linewidth=0.5)
plt.axvline(0,color='k',linewidth=0.5)
plt.plot(x, f)
plt.scatter([2],[ -1], color='red') # sommet connu
plt.title('f(x)=x^2-4x+3')
plt.show()
# Estimation numérique du minimum
ix = np.argmin(f)
print('approx min en x=', x[ix], 'avec f=', f[ix])Pourquoi ce code aide
Le tracé montre immédiatement la forme de la courbe ; la fonction np.argmin donne une estimation numérique du point où \(f\) est minimale sur la grille.
Quel avantage d'utiliser un maillage très fin (beaucoup de points) pour estimer un extremum numériquement ?
Erreurs fréquentes
- Se fier seulement à quelques points numériques : un échantillonnage pauvre peut masquer un extremum très étroit.
- Confondre maximum local et maximum global sans regarder le domaine.
- Oublier d'ajuster l'échelle du graphique : un extremum peut sembler plat si l'échelle verticale est très grande.
Quel est le risque principal d'utiliser un axe vertical mal calibré ?
Schéma pas à pas — visualiser le sommet d'une parabole
Étape 1 : on voit la parabole et on marque le sommet en rouge.
Étape 2 : on ajoute la tangente horizontale au sommet pour montrer que la pente est nulle là.
Récapitulatif et bonnes pratiques
- Tracer une fonction aide à repérer rapidement variations et extremums.
- Confirme toujours par un calcul simple (ex. compléter le carré) si possible.
- Utilise des outils (graphique interactif, Python) pour tester différents paramètres et zoomer sur les zones intéressantes.
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