Vecteur directeur et pente d'une droite

Un vecteur directeur indique la direction d'une droite, et la pente dit de combien on monte (ou descend) quand on avance d'une unité vers la droite.

Objectifs

Définir un vecteur directeur d'une droite et en trouver un à partir de deux points ou d'une équation.
Définir et calculer la pente (coefficient directeur) d'une droite non verticale.
Passer d'un vecteur directeur à la pente, et inversement.
Utiliser vecteurs directeurs et pentes pour reconnaître des droites parallèles.

1. Vecteur directeur d'une droite

Définition

Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul \(\vec{u}\) dont la direction est celle de \(d\). Si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\), alors \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \(d\).

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs : si \(\vec{u}\) en est un, tout vecteur \(k\vec{u}\) avec \(k \neq 0\) en est un aussi (ils sont colinéaires).
Si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

Lien avec une équation cartésienne

Si la droite \(d\) a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) (avec \((a\,;b) \neq (0\,;0)\)), alors le vecteur

\[\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\]

est un vecteur directeur de \(d\).

Exemple résolu 1

Donne un vecteur directeur de la droite \(d : 3x - 2y + 5 = 0\), puis un autre à coordonnées entières différentes. Cherche d'abord.

Ici \(a = 3\) et \(b = -2\), donc \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Vérification : le point \(A(-1\,;1)\) est sur \(d\) car \(3 \times (-1) - 2 \times 1 + 5 = 0\). Le point \(A + \vec{u} = (1\,;4)\) aussi : \(3 - 8 + 5 = 0\).

Tout multiple non nul convient, par exemple \(2\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) ou \(-\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Lequel est un vecteur directeur de la droite \(x + 4y - 7 = 0\) ?

\(\vec{u}(-4\,;1)\)
\(\vec{u}(1\,;4)\)
\(\vec{u}(4\,;1)\)

\(a = 1\), \(b = 4\), donc \(\vec{u}(-b\,;a) = (-4\,;1)\).

2. La pente d'une droite

Définition

Une droite non verticale a une équation réduite \(y = mx + p\). Le nombre \(m\) est sa pente (ou coefficient directeur) et \(p\) son ordonnée à l'origine.

Si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) sont deux points de la droite, avec \(x_A \neq x_B\) :

\[m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variation des abscisses}}\]

\(m > 0\) : la droite « monte » de gauche à droite ;
\(m < 0\) : elle « descend » ;
\(m = 0\) : elle est horizontale.
Une droite verticale (\(x = k\)) n'a pas de pente.

Déplace les curseurs : \(m\) change l'inclinaison de la droite, \(p\) la fait glisser vers le haut ou le bas sans changer sa direction.

Lire la pente sur un graphique

On part d'un point \(A\) de la droite et on avance d'une unité vers la droite.

Pour retrouver la droite, il faut monter de 2 unités : la variation verticale est \(+2\).

La pente est \(m = 2\), et le déplacement effectué donne le vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;2)\).

Exemple résolu 2

Calcule la pente de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;8)\), puis son équation réduite.

\[m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\]

L'équation est \(y = 2x + p\). Comme \(A\) est sur la droite : \(2 = 2 \times 1 + p\), donc \(p = 0\).

\((AB) : y = 2x\). Vérification avec \(B\) : \(2 \times 4 = 8\). ✔

Quelle est la pente de la droite passant par \(C(-2\,;5)\) et \(D(2\,;-3)\) ?

\(2\)
\(-\dfrac{1}{2}\)
\(-2\)

\(m = \dfrac{-3 - 5}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2\) : la droite descend.

3. Du vecteur directeur à la pente

Propriétés

Une droite de pente \(m\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}\).
Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur avec \(\alpha \neq 0\), alors la pente est \(m = \dfrac{\beta}{\alpha}\).
Si \(\alpha = 0\), la droite est verticale.

Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire, pour des droites non verticales, si elles ont la même pente. Deux vecteurs \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) sont colinéaires si et seulement si \(xy' - yx' = 0\).

Exemple résolu 3

\(d_1 : y = -0{,}5x + 3\). La droite \(d_2\) passe par \(C(-2\,;1)\) et \(D(4\,;-2)\). Les droites sont-elles parallèles ?

Voir la solution

Pente de \(d_2\) :

\[m_2 = \frac{-2 - 1}{4 - (-2)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\]

Les deux droites ont la même pente \(-0{,}5\) : elles sont parallèles. Avec les vecteurs : \(\vec{u}_1(1\,;-0{,}5)\) et \(\overrightarrow{CD}(6\,;-3)\), et \(1 \times (-3) - (-0{,}5) \times 6 = -3 + 3 = 0\) : ils sont colinéaires.

Une droite a pour vecteur directeur \(\vec{u}(4\,;-6)\). Quelle est sa pente ?

\(-\dfrac{2}{3}\)
\(-\dfrac{3}{2}\)
\(-6\)

\(m = \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}\).

Erreurs fréquentes

Pour \(ax + by + c = 0\), prendre \(\vec{u}(a\,;b)\) au lieu de \(\vec{u}(-b\,;a)\).
Inverser numérateur et dénominateur dans le calcul de la pente.
Chercher la pente d'une droite verticale (elle n'en a pas).
Croire qu'une droite n'a qu'un seul vecteur directeur.

Récapitulatif

\(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \((AB)\) ; tous ses multiples non nuls aussi.
\(ax + by + c = 0\) admet \(\vec{u}(-b\,;a)\) comme vecteur directeur.
\(y = mx + p\) : pente \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\), vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;m)\).
Vecteur \(\vec{u}(\alpha\,;\beta)\) avec \(\alpha \neq 0\) : pente \(\dfrac{\beta}{\alpha}\).
Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires, ou même pente.

Vecteur directeur

Vecteur non nul qui a la direction de la droite, par exemple \(\overrightarrow{AB}\).

Vecteur directeur de \(ax + by + c = 0\)

\(\vec{u}(-b\,;a)\)

Pente

\(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\), dans \(y = mx + p\).

Du vecteur à la pente

\(\vec{u}(\alpha\,;\beta)\), \(\alpha \neq 0\) : \(m = \beta/\alpha\).

Droites parallèles

Même pente, ou vecteurs directeurs colinéaires (\(xy' - yx' = 0\)).