Vecteur et points du plan : Distances et milieux

Découvrir comment mesurer les distances et trouver les milieux dans le plan à l'aide des vecteurs.

Objectifs

Distance entre deux points : La longueur du segment qui les relie.
Milieu d’un segment : Le point qui partage le segment en deux parties égales.
Vecteur : Représente une translation dans le plan, avec une direction et une norme.

Soient \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\). La distance entre ces deux points est :


D = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 } = \sqrt{ (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 } = \sqrt{ 3^2 + 4^2 } = \sqrt{ 9 + 16 } = \sqrt{25} = 5

La distance \(AB\) est donc égale à 5.

Le milieu M du segment [AB], avec \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\), se calcule par :


M_x = \frac{ x_A + x_B }{ 2 } = \frac{ 1 + 4 }{ 2 } = 2.5
M_y = \frac{ y_A + y_B }{ 2 } = \frac{ 2 + 6 }{ 2 } = 4

Le point milieu est donc \(M(2.5, 4)\).

Voir la solution

On utilise la formule :
\[\text{Milieu} \ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2} \ , \ \frac{ y_A + y_B }{2} \right) \]

Étape 1 : Identifier les coordonnées des points A et B.

Étape 2 : Appliquer la formule du milieu :

\( M_x = \frac{1+4}{2} = 2.5 \)

\( M_y = \frac{2+6}{2} = 4 \)

Distance

Longueur entre deux points : \( \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \)

Milieu

Point partageant un segment en deux parties égales : \( ( \frac{x_A + x_B}{2} \ , \ \frac{ y_A + y_B}{2} ) \)

Vecteur

Représente une translation : \( \vec{u} = (x, y) \)

Quelle est la formule pour calculer la distance entre deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) ?

La formule correcte est la première, qui utilise le théorème de Pythagore pour la distance.