Vecteur et points du plan : Distances et milieux

Découvrir comment calculer la distance entre deux points et leur milieu dans le plan.

Objectifs

Si deux points A(\(x_1, y_1\)) et B(\(x_2, y_2\)), la distance \(AB\) se calcule avec la formule :

\[ d(AB) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

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Pour A(\(x_1, y_1\)) et B(\(x_2, y_2\)), la distance est :

Calculer la différence \(x_2 - x_1\) et \(y_2 - y_1\).

Mettre au carré chaque différence : \((x_2 - x_1)^2\) et \((y_2 - y_1)^2\).

Faire la somme des carrés : \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\).

Prendre la racine carrée pour obtenir la distance : \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Quelle formule permet de calculer la distance entre deux points dans le plan ?

C'est la formule du théorème de Pythagore appliquée au plan, permettant de mesurer la distance entre deux points.

Pour deux points A(\(x_1, y_1\)) et B(\(x_2, y_2\)), le milieu M est donné par :

\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

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Le point milieu M est la moyenne des coordonnées de A et B :

Calculer la moyenne des abscisses : \( \frac{x_1 + x_2}{2} \).

Calculer la moyenne des ordonnées : \( \frac{y_1 + y_2}{2} \).

Le point M est alors \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).

Pour trouver le milieu de segment entre A(2, 4) et B(6, 8), quelle est la coordonnée x du milieu ?

La coordonnée x est la moyenne de 2 et 6, soit \( \frac{2 + 6}{2} = 4 \).

Le vecteur \(\vec{AB}\) se calcule en soustrayant les coordonnées : \(\begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{bmatrix}\).
La distance entre deux points est donnée par \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Le milieu d’un segment est le point dont les coordonnées sont la moyenne de celles des extrémités : \(\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\).