Vecteur normal à une droite, équation cartésienne

Un vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est perpendiculaire à une droite : il suffit de lui et d'un point pour écrire l'équation \(ax + by + c = 0\), grâce au produit scalaire nul.

Objectifs

Définir un vecteur normal à une droite et le lire sur une équation cartésienne.
Déterminer une équation cartésienne d'une droite connaissant un point et un vecteur normal.
Reconnaître deux droites perpendiculaires à partir de leurs équations.
Utiliser ces outils pour une hauteur, une médiatrice ou un projeté orthogonal.

Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé \((O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})\).

1. Vecteur normal à une droite

Définition. Un vecteur \(\vec{n}\) non nul est normal à une droite \(d\) s'il est orthogonal à un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\), c'est-à-dire :

\[\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\]

Rappel. Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\).

La droite \(d\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Lequel de ces vecteurs est normal à \(d\) ?

\(\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(2 \times (-5) + 5 \times 2 = 0\) : le produit scalaire est nul. Pour les autres : \(4 - 25 = -21\) et \(10 + 10 = 20\), non nuls.

2. Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal

Propriété. Soit \(A\) un point et \(\vec{n}\) un vecteur non nul. La droite \(d\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\]

Suis la construction étape par étape :

On trace la droite d qui passe par le point A.

On place en A le vecteur normal n, perpendiculaire à d.

On prend un point M quelconque de d : le vecteur AM suit la droite.

AM et n forment un angle droit : leur produit scalaire est nul. C'est la condition pour que M soit sur d.

Avec \(A(x_A ; y_A)\), \(M(x ; y)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) :

\[\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \iff ax + by + c = 0\]

avec \(c = -a x_A - b y_A\).

Manipule les coefficients : la droite bleue a pour équation \(ax + by + c = 0\) et la seconde droite passe par l'origine avec la direction du vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\). Observe qu'elles restent toujours perpendiculaires.

Exemple résolu 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(2 ; -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Cherche d'abord.

Étape 1 : pour \(M(x ; y)\), \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 2 \\ y + 1 \end{pmatrix}\).

Étape 2 : \(M \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff 3(x - 2) + 4(y + 1) = 0\).

Étape 3 : on développe : \(3x - 6 + 4y + 4 = 0\), soit \[3x + 4y - 2 = 0\]

Étape 4 : vérification avec \(A\) : \(3 \times 2 + 4 \times (-1) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0\). Le point \(A\) est bien sur la droite.

Une équation de la droite passant par \(A(1 ; -2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) est :

\(-x + 3y + 7 = 0\)
\(-x + 3y - 7 = 0\)
\(3x + y - 1 = 0\)

\(-1(x - 1) + 3(y + 2) = 0\) donne \(-x + 1 + 3y + 6 = 0\), soit \(-x + 3y + 7 = 0\). Vérification : \(-1 - 6 + 7 = 0\).

Quel est un vecteur normal à la droite d'équation \(2x - 5y + 1 = 0\) ?

\(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

On lit directement les coefficients de \(x\) et de \(y\) : \(a = 2\), \(b = -5\). Le vecteur \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) est, lui, un vecteur directeur.

3. Droites perpendiculaires

Propriété. Deux droites \(d : ax + by + c = 0\) et \(d' : a'x + b'y + c' = 0\) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux :

\[d \perp d' \iff aa' + bb' = 0\]

Les droites \(d : 2x + 3y - 1 = 0\) et \(d' : 3x - 2y + 5 = 0\) sont-elles perpendiculaires ?

Oui, car \(2 \times 3 + 3 \times (-2) = 0\).
Non, car \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\).
On ne peut pas savoir sans tracer les droites.

Les vecteurs normaux \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) ont un produit scalaire \(6 - 6 = 0\) : ils sont orthogonaux, donc les droites sont perpendiculaires.

4. Applications : hauteur, médiatrice, projeté orthogonal

Exemple résolu 2 : une hauteur

Soit \(A(1 ; 2)\), \(B(4 ; 0)\) et \(C(0 ; -3)\). Déterminer une équation de la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\).

Voir la solution

La hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire à \((BC)\) : le vecteur \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 0 - 4 \\ -3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}\) lui est donc normal.

\[-4(x - 1) - 3(y - 2) = 0 \iff -4x + 4 - 3y + 6 = 0 \iff 4x + 3y - 10 = 0\]

Vérification : \(4 \times 1 + 3 \times 2 - 10 = 0\), donc \(A\) appartient bien à cette droite.

Exemple résolu 3 : une médiatrice

Soit \(A(-1 ; 3)\) et \(B(3 ; 1)\). Déterminer une équation de la médiatrice de \([AB]\).

Étape 1 : la médiatrice passe par le milieu \(I\) de \([AB]\) : \(I\left(\dfrac{-1 + 3}{2} ; \dfrac{3 + 1}{2}\right) = I(1 ; 2)\).

Étape 2 : elle est perpendiculaire à \((AB)\), donc \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) lui est normal.

Étape 3 : \(4(x - 1) - 2(y - 2) = 0 \iff 4x - 4 - 2y + 4 = 0 \iff 4x - 2y = 0\), soit en divisant par 2 : \[2x - y = 0\]

Étape 4 : contrôle avec le point \(O(0 ; 0)\) de cette droite : \(OA = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\) et \(OB = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\). \(O\) est bien à égale distance de \(A\) et de \(B\).

Exemple résolu 4 : le projeté orthogonal

Soit la droite \(d : x - 2y + 3 = 0\) et le point \(M(4 ; 1)\). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\). Cherche d'abord.

Étape 1 : \(d\) a pour vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) et pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Étape 2 : la droite \(d'\) passant par \(M\) et perpendiculaire à \(d\) admet \(\vec{u}\) comme vecteur normal : \(2(x - 4) + 1(y - 1) = 0\), soit \(2x + y - 9 = 0\).

Étape 3 : \(H\) est l'intersection de \(d\) et \(d'\). De \(2x + y - 9 = 0\), on tire \(y = 9 - 2x\), puis \(x - 2(9 - 2x) + 3 = 0\), soit \(5x - 15 = 0\), donc \(x = 3\) et \(y = 3\).

Étape 4 : \(H(3 ; 3)\). Contrôle : \(3 - 6 + 3 = 0\), donc \(H \in d\), et \(\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) est colinéaire à \(\vec{n}\). La distance de \(M\) à \(d\) vaut \(MH = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).

Pour la médiatrice de \([AB]\), quel vecteur normal utilise-t-on ?

Le vecteur \(\overrightarrow{OI}\), où \(I\) est le milieu de \([AB]\).
Un vecteur directeur de \((AB)\) tourné d'un quart de tour.
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

La médiatrice est perpendiculaire à \((AB)\) : \(\overrightarrow{AB}\) lui est normal. On utilise ensuite le milieu \(I\) comme point.

Erreurs fréquentes

Lire \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) comme vecteur normal : c'est le vecteur directeur.
Oublier que le repère doit être orthonormé pour calculer le produit scalaire avec \(xx' + yy'\).
Se tromper de signe en développant \(a(x - x_A)\) quand \(x_A\) est négatif.
Ne pas vérifier que le point donné vérifie l'équation trouvée : ce contrôle prend dix secondes.

Récapitulatif

\(\vec{n}\) est normal à \(d\) si \(\vec{n} \neq \vec{0}\) et \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) pour un vecteur directeur \(\vec{u}\).
\(M \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\), ce qui donne \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\).
Pour \(ax + by + c = 0\) : normal \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), directeur \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
\(d \perp d' \iff aa' + bb' = 0\).
Applications : hauteur, médiatrice, projeté orthogonal et distance d'un point à une droite.

Vecteur normal

Vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.

Droite ax + by + c = 0

Vecteur normal (a ; b), vecteur directeur (−b ; a).

Équation par point et normal

a(x − xA) + b(y − yA) = 0, puis on développe.

Droites perpendiculaires

aa′ + bb′ = 0 : les vecteurs normaux sont orthogonaux.

Médiatrice de [AB]

Passe par le milieu I de [AB], de vecteur normal AB.

Projeté orthogonal H de M sur d

Intersection de d et de la perpendiculaire à d passant par M.