Vecteurs : Applications géométriques

Introduction

Les vecteurs sont des objets mathématiques importants en géométrie. Ils permettent de décrire des déplacements, des directions, ou des longueurs dans un espace. Dans ce chapitre, nous allons voir comment utiliser des vecteurs pour réaliser des applications géométriques.

1. Représentation d’un vecteur

Un vecteur élémentaire se note \(ec{AB}\) et se caractérise par sa norme (longueur) et sa direction. Il relie deux points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) dans le plan.

Le vecteur \(ec{AB}\) peut se résumer par ses équations :

• Composantes : \(\Delta x = x_B - x_A\) et \(\Delta y = y_B - y_A\)
• Forme : \(ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)

2. Opérations avec des vecteurs

On peut additionner ou soustraire des vecteurs :

• Équation : \(ec{AB} + ec{BC} = ec{AC}\)
• Égalité : Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même norme et la même direction.

3. Application géométrique : Translation

Une translation est un mouvement qui déplace tous les points d'une figure selon un vecteur fixe \(ec{v}\).
Pour translate un point P(x_P, y_P) par le vecteur \(ec{v} = (a, b)\), on calcule :

• Le nouveau point P'(\(x'_P, y'_P\)) avec \[ \] \[ x'_P = x_P + a \] \[ y'_P = y_P + b \] \[ \]

Exemple : Si P(2, 3) et \(ec{v} = (4, -1)\), alors :

• \(P' = (2 + 4, 3 - 1) = (6, 2)\)

4. Application : Test d'égalité de deux segments

Deux segments \([AB]\) et \([CD]\) sont égaux si :

• Ils ont la même longueur
• Ils sont parallèles

On calcule leurs vecteurs :

• \(ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• \(ec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C)\)

Et on compare :

• Normes : \(\|ec{AB}\|\) et \(\|ec{CD}\|\)
• Directions : deux vecteurs sont colinéaires si \(ec{AB} = k imes ec{CD}\) avec un réel \(k\).

Conclusion

Les vecteurs sont des outils puissants pour effectuer et comprendre des applications géométriques comme la translation. Leur utilisation simplifie la résolution de nombreux problèmes en géométrie.