Vecteurs : direction, norme, coordonnées, relation de Chasles

1. Définition d'un vecteur

Un vecteur est une grandeur géométrique caractérisée par sa direction, sa sens, sa norme, et éventuellement ses coordonnées.

2. La norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur \(ec{u}\), notée \(\|ec{u}\|\), correspond à sa longueur. Si \(ec{u} = (x, y)\), alors :

\[ \|ec{u}\|\ = \sqrt{x^2 + y^2} \]

3. La direction d'un vecteur

La direction d'un vecteur correspond à la ligne dans laquelle il s'étend. Elle est donnée par l'angle \( heta\) qu'il fait avec l'axe des abscisses :

\[ heta = rctan{rac{y}{x}} \] (pour \(ec{u} = (x, y)\), avec \(x eq 0\))

4. Les coordonnées d'un vecteur

Dans un repère orthogonal, un vecteur \(ec{u}\) peut s'exprimer par ses coordonnées \((x, y)\) ou \((x, y, z)\) en espace.

5. La relation de Chasles

La relation de Chasles permet d'exprimer une somme de vecteurs :

\[ ec{AB} + ec{BC} = ec{AC} \]

Autrement dit, si on veut aller du point A au point C en passant par B :

• On va de A à B : \(ec{AB}\)
• Puis de B à C : \(ec{BC}\)

Et la somme de ces deux vecteurs donne le vecteur direct de A à C :

\[ ec{AC} = ec{AB} + ec{BC} \]

Conclusion

Les vecteurs sont des outils fondamentaux en géométrie, permettant de représenter des déplacements dans l'espace ou le plan en utilisant leur direction, leur norme et leurs coordonnées. La relation de Chasles facilite la compréhension des déplacements successifs.