Vecteurs, droites et plans de l’espace : Combinaisons linéaires, colinéarité, bases

1. Notions de base

Vecteur: un vecteur dans l’espace \(\mathbb{R}^3\) est une quantité caractérisée par sa norme et sa direction. Il s’écrit généralement sous la forme \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\).

Droite et plan: une droite peut être représentée par une équation vectorielle ou paramétrique. Un plan est une surface bidimensionnelle dans \(\mathbb{R}^3\).

2. Combinaisons linéaires

Soient \(ec{u}_1, ec{u}_2, \dots, ec{u}_n\) des vecteurs dans \(\mathbb{R}^3\).
Une combinaison linéaire de ces vecteurs est une expression de la forme :

∆ = \lambda_1 ec{u}_1 + \lambda_2 ec{u}_2 + \dots + \lambda_n ec{u}_n,

où \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) sont des scalaires (nombre réel).

3. Colinéarité

Deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont colinéaires s'il existent un scalaire \(k\) tel que :

\[ec{v} = k ec{u}\]

Dans l’espace, trois vecteurs \(ec{u}, ec{v}, ec{w}\) sont coplanaires si le volume de l'ulus formé par eux est nul, c’est-à-dire si :

\[\det(ec{u}, ec{v}, ec{w}) = 0\]

4. Bases

Une base de l’espace \(\mathbb{R}^3\) est un ensemble de trois vecteurs linéairement indépendants qui engendrent tout l’espace.
Par exemple, \(\{ ec{e}_1, ec{e}_2, ec{e}_3 \}\) avec :

\[ec{e}_1 = (1,0,0), \quad ec{e}_2 = (0,1,0), \quad ec{e}_3 = (0,0,1)\]

Tout vecteur \(ec{v}\) peut s’écrire de façon unique comme combinaison linéaire de la base :

\[ec{v} = x ec{e}_1 + y ec{e}_2 + z ec{e}_3,\]
 où \(x, y, z\) sont les coordonnées de \(ec{v}\).

5. Résumé

Les combinaisons linéaires permettent de construire de nouveaux vecteurs à partir d’un ensemble de vecteurs donnés.
La colinéarité est une propriété qui traduit qu’un vecteur est un multiple d’un autre.
Une base est un ensemble de vecteurs indépendants qui engendrent tout l’espace, permettant de représenter tous les vecteurs dans \(\mathbb{R}^3\).