Vecteurs, Droites et Plans de l’Espace : Utilisation du Produit Scalaire pour l’Orthogonalité et les Distances

1. Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) est défini par :

\(\;\;\;\) \( ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \)

2. Orthogonalité

Deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

\(\;\;\;\) \( ec{u} \cdot ec{v} = 0 \)

Ce qui signifie que l’angle \( heta\) entre eux vérifie :

\(\;\;\;\) \( \cos heta = 0 \implies heta = 90^\circ \)

3. Distance entre un point et une droite

Considérons une droite \(\Delta\) définie par un point \(A\) de coordonnées \(ec{A}\) et un vecteur directeur \(ec{u}\).

Pour un point \(M\) de coordonnées \(ec{M}\), la distance \(d\) de \(M\) à la droite \(\Delta\) est :

\(\;\;\;\) \[ d = rac{\left| (ec{AM}) \wedge ec{u} ight|}{\left| ec{u} ight|} \]\

Mais en utilisant le produit scalaire, une formule équivalente est :

\(\;\;\;\) \[ d = rac{\left| (ec{AM}) - \left[(ec{AM}) \cdot rac{ec{u}}{\left| ec{u} ight|} ight]rac{ec{u}}{\left| ec{u} ight|} ight| } \]

4. Distance entre un point et un plan

Soit un plan \(\Pi\) défini par un point \(A\) de coordonnées \(ec{A}\) et un vecteur normal \(ec{n}\).

Pour un point \(M\) de coordonnées \(ec{M}\), la distance \(d\) de \(M\) au plan est :

\(\;\;\;\) \[ d = \left| rac{(ec{AM}) \cdot ec{n}}{\left| ec{n} ight|} ight| \]

Résumé important

• Le produit scalaire permet de déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux (\(ec{u} \cdot ec{v} = 0\)).
• La distance d’un point à une droite ou un plan se calcule à partir du produit scalaire et du vecteur normal ou directeur.