Vecteurs, droites et plans de l’espace : utilisation du produit scalaire pour orthogonalité et distances

1. Rappels sur le produit scalaire

Dans l’espace 3D, le produ it scalaire de deux vecteurs \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) est défini par :

\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ abla_{ec{u}, ec{v}} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \] .

Cela peut s’écrire aussi par :

\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( ext{en utilisant } \langle ec{u}, ec{v} angle)\]

2. Utilité du produit scalaire

a. Orthogonalité

Deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ext{si } \langle ec{u}, ec{v} angle = 0 \]

b. Calcul de la distance entre un point et une droite ou un plan

Le produit scalaire permet aussi de calculer des distances orthogonales :

> Si \(A\) est un point et \((ec{d})\) une droite ou un plan, la distance \(d\) se calcule en utilisant la projection orthogonale.

3. Exemples d’utilisation

a. Vérification de l’orthogonalité

Soient \(ec{u} = (1, 2, -1)\) et \(ec{v} = (2, -1, 0)\).

Calcul :

\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \langle ec{u}, ec{v} angle = 1 imes 2 + 2 imes (-1) + (-1) imes 0 = 2 - 2 + 0 = 0 \]

Donc, \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont orthogonaux.

b. Calcul de la distance d’un point à une droite

Soit un point \(A\) de coordonnées \((x_A, y_A, z_A)\) et une droite passant par \(O(0, 0, 0)\) avec un vecteur directeur \(ec{u}\).

La distance \(d\) de \(A\) à cette droite est donnée par :

\[ d = rac{\| (\overrightarrow{OA}) imes ec{u} \|}{\| ec{u} \|} \]

où \( imes\) est le produit vectoriel et \(\|\cdot\|\) la norme du vecteur.

4. Résumé

• Le produit scalaire permet de vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux (\(\langle ec{u}, ec{v} angle = 0\)).
• Il sert à calculer des distances orthogonales entre points et figures dans l’espace.