Vecteurs et géométrie analytique : Colinéarité, paralélisme, alignement

Introduction

En géométrie analytique, pour décrire la position de points, on utilise souvent des vecteurs. Certaines propriétés comme la colinéarité, le parallélisme ou l'alignement permettent de caractériser la relation entre ces points.

Vecteurs entre deux points

Soit deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\). Le vecteur \(ec{AB}\) est défini par :

• composantes : \(ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)

Ce vecteur indique la direction et la distance de \(A\) à \(B\).

Colinéarité

Trois points \(A, B, C\) sont colinéaires si le vecteur \(ec{AB}\) est un vecteur colinéaire à \(ec{AC}\).
Cela signifie qu'il existe un réel \(k\) tel que :

\[ ec{AB} = k 	imes ec{AC} \]

En coordonnées, cela revient à l'équation :

\[ (x_B - x_A, y_B - y_A) = k 	imes (x_C - x_A, y_C - y_A) \]

Ce qui implique que :

• \( (x_B - x_A) = k imes (x_C - x_A) \)
• \( (y_B - y_A) = k imes (y_C - y_A) \)

Si cette relation est vérifiée par un même \(k\), alors \(A, B, C\) sont alignés.

Parallélisme

Deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont parallèles s'ils sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe \(k\) tel que :

\[ ec{u} = k 	imes ec{v} \]

En coordonnées :

\[ (u_x, u_y) = k 	imes (v_x, v_y) \]

Visuellement, cela signifie que les deux vecteurs ont la même direction ou sont liés par une extension ou une inversion.

Alignement des points

Les points \(A, B, C\) sont alignés si le vecteur \(ec{AB}\) est parallèle à \(ec{AC}\).
Cela revient à vérifier que :

\[ ec{AB} 	ext{ et } ec{AC} 	ext{ sont parallèles} \]

Pour cela, on peut calculer le produit vectoriel :

\[ ec{AB} 	imes ec{AC} = 0 \]

En coordonnées, le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan est :

\[ (x_1, y_1) 	imes (x_2, y_2) = x_1 y_2 - y_1 x_2 \]

Si le résultat est nul, alors les vecteurs sont colinéaires et donc les points \(A, B, C\) sont alignés.

Résumé

• La colinéarité des points dépend de la proportionnalité de leurs vecteurs relatifs.
• Deux vecteurs sont parallèles s'il existe un facteur de proportionnalité entre eux.
• Les points sont alignés si les vecteurs qui les relient sont parallèles ou si le produit vectoriel de ces vecteurs est nul.

Conclusion

Ces propriétés permettent d'étudier la relation spatiale entre points dans le plan de façon simple et efficace à l'aide des vecteurs.