Comprendre quand vecteurs ou droites sont "dans la même direction" et comment le vérifier par calcul.

Vecteurs et géométrie analytique — Colinéarité, parallélisme, alignement

Niveau : Seconde — Thème : Vecteurs et géométrie analytique

Objectifs

Comprendre la notion de colinéarité pour deux vecteurs.
Savoir tester la colinéarité à partir des coordonnées (critère du déterminant).
Relier colinéarité de vecteurs et parallélisme de droites.
Connaître la condition d'alignement de trois points dans le plan.

Notions clés

1) Définition de colinéarité (vecteurs)

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que

\(\vec{v}=k\,\vec{u}\).

2) Coordonnées et critère pratique

Dans un repère, pour \(\vec{u}=(x_1,y_1)\) et \(\vec{v}=(x_2,y_2)\), ils sont colinéaires si et seulement si

\[x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Cette quantité est le déterminant \(\det\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)\). Intuition : le déterminant mesure l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs; si l'aire est nulle, ils sont sur la même ligne.

3) Parallélisme de droites et alignement de points

La droite \((AB)\) a pour vecteur directeur \(\vec{AB}= (x_B-x_A,\; y_B-y_A)\).

Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.

Trois points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Quiz — Quel critère équivaut à la colinéarité de \(\vec{u}=(x_1,y_1)\) et \(\vec{v}=(x_2,y_2)\) ?

\(x_1+x_2=0\)
\(x_1y_2-x_2y_1=0\)
\(x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2\)

Le déterminant nul signifie que l'aire du parallélogramme est nulle ; c'est le critère de colinéarité.

Exemples résolus

Exemple 1 — Vérifier l'alignement

Soit \(A(0,0)\), \(B(2,4)\) et \(C(1,2)\). Les points sont-ils alignés ?

Voir la solution

Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\): \(\vec{AB}=(2-0,4-0)=(2,4)\) et \(\vec{AC}=(1-0,2-0)=(1,2)\).

Calculer le déterminant :

\[\det\bigl((2,4),(1,2)\bigr)=2\times2-1\times4=4-4=0.\]

Conclusion : le déterminant est nul, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires ; les points \(A,B,C\) sont alignés.

Exemple 2 — Droites parallèles

Soient \(A(0,1), B(2,5)\) et \(C(1,0), D(3,4)\). Sont-elles parallèles ?

Calculer \(\vec{AB}=(2,4)\) et \(\vec{CD}=(2,4)\).

Ici \(\vec{CD}=1\times\vec{AB}\) (même vecteur), donc colinéaires.

Conclusion : les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles (même vecteur directeur).

Quiz — Si \(\vec{u}=(3,6)\) et \(\vec{v}=(1,2)\), que peut-on dire ?

Ils sont colinéaires.
Ils ne sont pas colinéaires.
On ne peut rien dire sans plus d'informations.

\(\vec{u}=3\,\vec{v}\), donc colinéaires.

Figure — Vecteurs et alignement

Schéma représentant deux vecteurs colinéaires (en bleu) et un vecteur non colinéaire (en rouge).

Erreurs fréquentes

Oublier de soustraire les coordonnées : \(\vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\), pas \((x_B,y_B)\).
Comparer des longueurs au lieu des directions : deux vecteurs peuvent avoir longueurs différentes mais être colinéaires.
Pour la pente, attention aux droites verticales (pente non définie) : utilisez le déterminant.

Quiz — On a A(1,1), B(1,4), C(1,7). Que dire ?

Ils ne sont pas alignés.
Ils forment un triangle non dégénéré.
Ils sont alignés (droite verticale).

Les abscisses sont identiques, donc \(\vec{AB}=(0,3)\) et \(\vec{AC}=(0,6)\) sont colinéaires ; la droite est verticale.

Récapitulatif

Vecteurs colinéaires : \(\vec{v}=k\vec{u}\).
Critère pratique : pour \(\vec{u}=(x_1,y_1)\) et \(\vec{v}=(x_2,y_2)\), colinéarité \(\iff x_1y_2-x_2y_1=0\).
Droites parallèles ⇔ vecteurs directeurs colinéaires. Trois points alignés ⇔ deux vecteurs issus d'un même point sont colinéaires.

Cartes mémo

Colinéarité

\(\vec{v}=k\vec{u}\)

Critère déterminant

\(x_1y_2-x_2y_1=0\)

Vecteur directeur

\(\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)\)

Alignement

\(A,B,C\) alignés ⇔ \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires