Vecteurs et géométrie analytique : Vecteurs : direction, norme, coordonnées, relation de Chasles
La direction, la norme et la somme des vecteurs se manipulent comme des déplacements sur un plan; la relation de Chasles permet d’écrire un déplacement comme la somme de déplacements plus simples.
Objectifs du cours
- Définir ce qu’est un vecteur et préciser sa direction et sa norme.
- Connaître et manipuler les coordonnées d’un vecteur en 2D.
- Utiliser la relation de Chasles: \\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v} et en déduire les composantes: \\begin{align} w_x &= u_x + v_x \\ w_y &= u_y + v_y \\end{align}
- Résoudre des exercices simples de composition de vecteurs et interpréter graphiquement le résultat.
Notions clés
Direction
Définition: la direction d’un vecteur \\vec{u} est l’axe le long duquel il agit. On peut fixer une unité directrice (vecteur unitaire) par \( \hat{u} = \frac{\\vec{u}}{\\|\\vec{u}\\|} \).
Norme (longueur)
Pour un vecteur \\vec{u} = (u_x, u_y) en 2D, la norme est \[ \\|\\vec{u}\\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} \].
Coordonnées
Un vecteur peut être écrit sous forme (u_x, u_y) dans R^2 et représente son déplacement horizontal et vertical.
Relation de Chasles
En composantes, cela donne:
\[ \\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v} \\Rightarrow w_x = u_x + v_x \\text{ et } \\ w_y = u_y + v_y \].Exemple résolu
Exemple: \\vec{u} = (3, -2) et \\vec{v} = (-1, 4). Calculer \\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v}.
Voir la solution
\\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2).
Donc, \\vec{w} = (2, 2).
Erreurs fréquentes
- Confondre vecteur et point: le vecteur a une direction et une norme; un point n’a pas ces propriétés.
- Oublier que la norme est une quantité scalaire; elle ne peut pas être négative.
- Confondre les composantes x et y lors de l’addition: il faut additionner u_x avec v_x et u_y avec v_y.
Question : Quelle égalité décrit correctement la relation de Chasles pour les composantes?
Récapitulatif
Points clés: la direction et la norme définissent un vecteur; les coordonnées donnent les composantes; la relation de Chasles permet d’additionner les vecteurs et d’obtenir les composantes du résultat.
Quelle affirmation est vraie ?
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