Les vecteurs décrivent une translation : on peut les ajouter et les représenter par un parallélogramme.

Vecteurs et parallélogrammes — niveau 4e

Objectifs

Comprendre ce qu'est un vecteur et comment le représenter.
Utiliser l'addition de vecteurs et la relation avec le parallélogramme.
Connaître les propriétés des côtés et des diagonales d'un parallélogramme.

Notions clés

Définition

Un vecteur est représenté par une flèche. On note \(\vec{AB}\) le vecteur qui va du point \(A\) au point \(B\). Il a une direction, une longueur (ou norme) et un sens (de A vers B).

Addition de vecteurs — interprétation géométrique

Pour additionner deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on place l'origine de \(\vec{v}\) à l'extrémité de \(\vec{u}\) ; le vecteur qui va du début de \(\vec{u}\) à la fin de \(\vec{v}\) est leur somme.

Parallélogramme et vecteurs

Si \(ABCD\) est un parallélogramme (points dans l'ordre), alors les côtés opposés ont des vecteurs égaux :

\(\vec{AB}=\vec{DC}\quad\text{et}\quad\vec{AD}=\vec{BC}.\)

De plus, la diagonale vérifie : \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\).

Étape 1 : on trace \(\vec{AB}\).

Étape 2 : on place le point \(D\) pour obtenir le parallélogramme \(ABCD\) (AD // BC et AB // DC).

Étape 3 : la diagonale montre que \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\).

Si \(\vec{u}=\vec{AB}\) et \(\vec{v}=\vec{BC}\), quelle est la somme \(\vec{u}+\vec{v}\) ?

\(\vec{BA}\)
\(\vec{AC}\)
\(\vec{CB}\)

On place \(\vec{v}\) à la fin de \(\vec{u}\) : on obtient \(\vec{AC}\).

Exemples résolus

Exemple 1 — addition de vecteurs (coordonnées)

Donner \(\vec{u}+\vec{v}\) pour \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).

Étape 1 : on additionne composante par composante.

Étape 2 : calcul : \[ \begin{aligned} \vec{u}+\vec{v} &= \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}2+(-1)\\1+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}. \end{aligned} \]

Voir la solution en images

On peut dessiner \(\vec{u}\) puis, depuis son extrémité, dessiner \(\vec{v}\). Le vecteur résultant va du départ de \(\vec{u}\) à l'arrivée finale, ici de composantes \(1,4\).

Quel est le résultat de \(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\) ?

\(\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)

Addition composante par composante : \(2+(-1)=1\) et \(1+3=4\).

Exemple 2 — propriété d'un parallélogramme

Montrer que dans un parallélogramme \(ABCD\) on a \(\vec{AB}=\vec{DC}\).

Voir la solution

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Donc le segment \(AB\) est parallèle et égal en longueur au segment \(DC\), et a le même sens quand on regarde \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\) (de D vers C). Donc leurs vecteurs sont égaux :

\[\vec{AB}=\vec{DC}.\]

Dans un parallélogramme, quelle relation est vraie ?

\(\vec{AB}=\vec{BC}\)
\(\vec{AB}=\vec{AD}\)
\(\vec{AB}=\vec{DC}\)

Les côtés opposés sont égaux et parallèles : \(AB\) correspond à \(DC\).

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur et segment : le vecteur a une direction et un sens.
Oublier que \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\) (addition commutative) mais dans le dessin il faut placer les flèches correctement.
Penser que seulement la longueur compte ; la direction et le sens importent aussi.

Si \(\vec{p}=\vec{AB}\), quelle est l'expression correcte de l'opposé ?

\(\vec{p}=\vec{BA}\)
\(\vec{-p}=\vec{BA}\)
\(\vec{p}=\vec{AB}\)

L'opposé d'un vecteur inverse son sens : \(\vec{-p}=\vec{BA}\).

Récapitulatif

Un vecteur \(\vec{AB}\) va du point \(A\) au point \(B\).
Addition : \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).
Parallélogramme : côtés opposés ont des vecteurs égaux, diagonales se coupent en leur milieu.

Quelle phrase résume le mieux la somme de vecteurs représentée par un parallélogramme ?

La diagonale représente la somme des vecteurs formant deux côtés adjacents.
La somme de vecteurs donne toujours le côté opposé.
Les vecteurs ne peuvent pas être ajoutés graphiquement.

La diagonale du parallélogramme montre la somme des deux vecteurs adjacents.

Vecteur

Flèche décrivant direction, sens et longueur (ex : \(\vec{AB}\)).

Addition

\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\) (placez bout à bout).

Parallélogramme

Côtés opposés égaux : \(\vec{AB}=\vec{DC}\).

Opposé

\(\vec{BA}=-\vec{AB}\) (même longueur, sens inverse).