Vecteurs et points du plan

1. Notion de point dans le plan

Un point dans le plan est identifié par ses coordonnées \(\left( x, y ight)\), où \(x\) est l'abscisse et \(y\) l'ordonnée.

Exemple : le point \(A\) de coordonnées \(\left( 3, -2 ight)\) est situé à 3 units à droite de l'origine et 2 units en dessous.

2. Notion de vecteur dans le plan

Un vecteur est une flèche en gras, qui possède une direction, un sens et une norme (longueur).

Le vecteur \(ec{AB}\) allant du point \(A (x_A, y_A)\) au point \(B (x_B, y_B)\) a pour coordonnées :

\[ ec{AB} = (x_B - x_A,\, y_B - y_A) \]

Exemple : si \(A (1, 2)\) et \(B (4, 5)\), alors :

\[ ec{AB} = (4 - 1,\, 5 - 2) = (3, 3) \]

3. Représentation graphique

Les points sont généralement notés par leurs coordonnées, et les vecteurs par une flèche partant du point de début vers le point de fin.

Par exemple, pour représenter \(ec{AB}\), on trace une flèche du point \(A\) au point \(B\).

4. Opérations sur les vecteurs

a) Addition

Le vecteur \(ec{AB} + ec{BC}\) est la somme des deux vecteurs, représentée graphiquement en utilisant la règle du parallélogramme.

b) Calcul de la norme

La norme (longueur) du vecteur \(ec{V} = (x, y)\) est donnée par :

\[ |ec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Exemple : pour \(ec{AB} = (3, 3)\), la norme est :

\[ |ec{AB}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \]

5. Résumé

• Un point est défini par ses coordonnées \((x, y)\).
• Un vecteur est défini par ses coordonnées \((x, y)\) et peut être obtenu par la différence des coordonnées de deux points.
• La norme d’un vecteur est donnée par la formule \(\sqrt{x^2 + y^2}\).
• Les vecteurs peuvent être additionnés ou soustraits selon des règles géométriques.