Introduction

En géométrie, le plan est une surface infinie où l'on peut représenter des points et des vecteurs. Les vecteurs permettent d'indiquer des déplacements ou des positions relatives entre points, comme si on donnait une direction et une longueur, une sorte de flèche entre deux points.

Les points dans le plan

Un point du plan se repère par ses coordonnées \((x, y)\), qui correspondent à sa position horizontale et verticale par rapport à un repère orthonormé (un axe X(horizontal) et un axe Y(vertical)).

Par exemple, le point \(A\) avec \(A(3, 2)\) est situé 3 unités à droite de l’origine et 2 unités en haut.

Les vecteurs dans le plan

Un vecteur \(ec{AB}\) dans le plan est défini par deux points : le point de départ \(A(x_A, y_A)\) et le point d’arrivée \(B(x_B, y_B)\). Il indique comment passer de \(A\) à \(B\).

Les coordonnées du vecteur \(ec{AB}\) sont :

• \(x_{B} - x_{A}\) pour la composante horizontale
• \(y_{B} - y_{A}\) pour la composante verticale

On note donc :

\[ ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

Par exemple, si \(A(1, 2)\) et \(B(4, 5)\), alors :

\[ ec{AB} = (4 - 1,\, 5 - 2) = (3, 3) \]

Propriétés importantes

• Les vecteurs sont définis par leur origine et leur extrémité, mais on peut aussi parler simplement de leur composante vue ci-dessus.
• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
• Le vecteur nul est celui dont les composantes sont nulles, c’est-à-dire \((0, 0)\), il ne se déplace pas.

Analogies

Pensez à une flèche dans une région géographique : la direction qu’elle pointe, sa longueur (ou sa taille) et le point où elle part permettent de définir le vecteur. Un point, c’est comme un lieu précis, et le vecteur, c’est comme une direction et une distance à partir d’un lieu.